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Putnam 2003

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2010, 05:25 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Putnam_2003.pdf ( 30.62k ) Número de descargas: 95

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 26 2010, 04:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A2. Si alguno de los $TEX: $2n$$ reales es nulo, la desigualdad es verdadera porque uno de los dos sumandos del lado izquierdo de la desigualdad se anula, y la desigualdad es directa. Por ende supondremos que ninguno de los $TEX: $2n$$ reales es nulo. Hagamos la sustitución $TEX: $x_k=ln (a_k)- ln (b_k)$$ . De este modo la desigualdad a probar es equivalente a $TEX: $e^{\frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)}+1\leq \sqrt [n] {(e^{x_1}+1)\cdots (e^{x_n}+1)}$$ () Sea $TEX: $f(x)=ln (e^x+1)$$ . Como $TEX: $f''(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$$ para todo $TEX: $x\in \mathbb {R}$$ , se sigue que $TEX: $f$$ es convexa. Luego, por la desigualdad de Jensen y la convexidad de $TEX: $f$$ , se sigue que $TEX: $f(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k)\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k)$$ . Pero esta última desigualdad equivale a (), demostrando lo pedido. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2010, 02:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	B2: Más generalmente, supongamos que $TEX: $h_1, h_2,...,h_n$$ son los $TEX: $n$$ números en fila. A cada uno de estos $TEX: $n$$ números asignémoles un vector $TEX: $v_i\in \mathbb {R}^n$$ , de tal modo que si $TEX: $v_k$$ es el vector asignado a $TEX: $h_k$$ , entonces todos los componentes de $TEX: $v_k$$ son nulos, excepto el k-ésimo componente, el cual es igual a $TEX: $h_k$$ (por ejemplo, $TEX: $v_3=(0,0,h_3,0,...,0)$$ ). Aplicaremos reiteradamente la misma operación definida sobre los reales, pero esta vez aplicada sobre los vectores, hasta obtener un único vector $TEX: $v$$ , el cual será de la forma $TEX: $(c_{1,n}h_1,c_{2,n}h_2,...,c_{n,n}h_n)$$ para ciertos reales positivos $TEX: $c_{1,n},c_{2,n},...,c_{n,n}$$ . Como tras cada vez que sumamos dos de estos vectores, la suma de los componentes del vector es la suma de la suma de los componentes de los vectores, se sigue la suma de los componentes del vector resultante $TEX: $v$$ es el valor de $TEX: $x_n$$ , esto es, $TEX: $x_n=\sum_{k=1}^n c_{k,n}h_k$$ . Se probará que $TEX: $c_{k,n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\dbinom {n-1}{k-1}$$ . Para $TEX: $n=1$$ , el caso es claro. Supongamos que para cierto $TEX: $n\in \mathbb {N}$$ la propiedad es verdadera. Para el caso $TEX: $n+1$$ , sean $TEX: $v'_k\in \mathbb {R}^{n+1}$$ vectores definidos de la misma forma que los vectores $TEX: $v_k$$ . Tomemos los $TEX: $n$$ vectores $TEX: $v'_1,v'_2,...,v'_n$$ . Por la HI, se tiene que el vector resultante es $TEX: $(c_{1,n}h_1,...,c_{n,n}h_n, 0)$$ . Si hacemos lo mismo, pero esta vez a los vectores $TEX: $v'_2,v'_3,...,v'_{n+1}$$ , obtenemos como vector resultante a $TEX: $(0, c_{1,n}h_2, ..., c_{n,n}h_{n+1})$$ . Si calculamos el promedio de los dos vectores obtenidos, obtenemos que $TEX: $c_{n+1,n+1}=c_{1,n+1}=\frac{1}{2}c_{1,n}=\frac{1}{2}c_{n,n}=2^{-n}$$ y que para $TEX: $1<k<n+1$$ : $TEX: $c_{k,n+1}=\dfrac{1}{2}(c_{k-1,n}+c_{k,n})=\dfrac{1}{2^n}( \dbinom {n-1}{k-2}+\dbinom {n-1}{k-1})=\dfrac{1}{2^n}\dbinom {n}{k-1} $$ Con esto finalizamos la induccion. Por lo obtenido al final del párrafo 1, y por lo demostrado en el párrafo 2, se tiene que si colocamos $TEX: $h_k=k^{-1}$$ para $TEX: $k=1,2,..,n$$ : $TEX: $x_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\dbinom {n-1}{k-1}=\dfrac {1}{2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}=\dfrac{1}{n2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n\dbinom {n}{k} $$ Como $TEX: $\sum_{k=1}^n \binom {n}{k}=2^n-1$$ , se obtiene finalmente que $TEX: $x_n=\dfrac{2^n-1}{n\cdot 2^{n-1}}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n\cdot 2^{n-1}}<\dfrac{2}{n}$$ Finalizando la demostración. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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