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> Putnam 2003
「Krizalid」
mensaje Dec 25 2010, 05:25 PM
Publicado: #1


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mensaje Dec 26 2010, 04:01 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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A2. Si alguno de los TEX: $2n$ reales es nulo, la desigualdad es verdadera porque uno de los dos sumandos del lado izquierdo de la desigualdad se anula, y la desigualdad es directa. Por ende supondremos que ninguno de los TEX: $2n$ reales es nulo. Hagamos la sustitución TEX: $x_k=ln (a_k)- ln (b_k)$. De este modo la desigualdad a probar es equivalente a

TEX: $e^{\frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)}+1\leq \sqrt [n] {(e^{x_1}+1)\cdots (e^{x_n}+1)}$(*)


Sea TEX: $f(x)=ln (e^x+1)$. Como TEX: $f''(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$ para todo TEX: $x\in \mathbb {R}$, se sigue que TEX: $f$ es convexa. Luego, por la desigualdad de Jensen y la convexidad de TEX: $f$, se sigue que TEX: $f(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k)\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k)$. Pero esta última desigualdad equivale a (*), demostrando lo pedido. TEX: $\blacksquare$


--------------------
Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años).
Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.



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mensaje Dec 29 2010, 02:56 PM
Publicado: #3


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B2: Más generalmente, supongamos que TEX: $h_1, h_2,...,h_n$ son los TEX: $n$ números en fila. A cada uno de estos TEX: $n$ números asignémoles un vector TEX: $v_i\in \mathbb {R}^n$, de tal modo que si TEX: $v_k$ es el vector asignado a TEX: $h_k$, entonces todos los componentes de TEX: $v_k$ son nulos, excepto el k-ésimo componente, el cual es igual a TEX: $h_k$ (por ejemplo, TEX: $v_3=(0,0,h_3,0,...,0)$). Aplicaremos reiteradamente la misma operación definida sobre los reales, pero esta vez aplicada sobre los vectores, hasta obtener un único vector TEX: $v$, el cual será de la forma TEX: $(c_{1,n}h_1,c_{2,n}h_2,...,c_{n,n}h_n)$ para ciertos reales positivos TEX: $c_{1,n},c_{2,n},...,c_{n,n}$. Como tras cada vez que sumamos dos de estos vectores, la suma de los componentes del vector es la suma de la suma de los componentes de los vectores, se sigue la suma de los componentes del vector resultante TEX: $v$ es el valor de TEX: $x_n$, esto es, TEX: $x_n=\sum_{k=1}^n c_{k,n}h_k$.

Se probará que TEX: $c_{k,n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\dbinom {n-1}{k-1}$. Para TEX: $n=1$, el caso es claro. Supongamos que para cierto TEX: $n\in \mathbb {N}$ la propiedad es verdadera. Para el caso TEX: $n+1$, sean TEX: $v'_k\in \mathbb {R}^{n+1}$ vectores definidos de la misma forma que los vectores TEX: $v_k$. Tomemos los TEX: $n$ vectores TEX: $v'_1,v'_2,...,v'_n$. Por la HI, se tiene que el vector resultante es TEX: $(c_{1,n}h_1,...,c_{n,n}h_n, 0)$. Si hacemos lo mismo, pero esta vez a los vectores TEX: $v'_2,v'_3,...,v'_{n+1}$, obtenemos como vector resultante a TEX: $(0, c_{1,n}h_2, ..., c_{n,n}h_{n+1})$. Si calculamos el promedio de los dos vectores obtenidos, obtenemos que TEX: $c_{n+1,n+1}=c_{1,n+1}=\frac{1}{2}c_{1,n}=\frac{1}{2}c_{n,n}=2^{-n}$ y que para TEX: $1<k<n+1$:
TEX: $c_{k,n+1}=\dfrac{1}{2}(c_{k-1,n}+c_{k,n})=\dfrac{1}{2^n}( \dbinom {n-1}{k-2}+\dbinom {n-1}{k-1})=\dfrac{1}{2^n}\dbinom {n}{k-1} $


Con esto finalizamos la induccion. Por lo obtenido al final del párrafo 1, y por lo demostrado en el párrafo 2, se tiene que si colocamos TEX: $h_k=k^{-1}$ para TEX: $k=1,2,..,n$:

TEX: $x_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\dbinom {n-1}{k-1}=\dfrac {1}{2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}=\dfrac{1}{n2^{n-1}}\displaystyle \sum_{k=1}^n\dbinom {n}{k} $


Como TEX: $\sum_{k=1}^n \binom {n}{k}=2^n-1$, se obtiene finalmente que
TEX: $x_n=\dfrac{2^n-1}{n\cdot 2^{n-1}}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n\cdot 2^{n-1}}<\dfrac{2}{n}$


Finalizando la demostración. TEX: $\blacksquare$


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Ricardo Vargas Obando
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