 Putnam 2006 |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Competencias Universitarias  |
 Dec 24 2010, 02:41 PM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad:  Sexo:   |
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Jan 22 2024, 02:17 PM
Publicado:
#2
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Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo: |
B5
-------------------- Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP. |
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![TEX: <br />\noindent Notar que para toda $f\in C([0,1],\mathbb{R})$:<br />\begin{equation*}<br />\begin{aligned}<br />(I-J)f &= \int_0^1 x^2f(x) - xf(x)^2 dx\\ <br />&= \int_0^1 x(xf(x) - f(x)^2)dx\\<br />& = \int_0^1 x\left(-\frac{x^2}{4}+xf(x) - f(x)^2 + \frac{x^2}{4}\right)dx\\<br />& = \int_0^1 -x\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)^2 + \frac{x^3}{4}dx\leq \int_0^1\frac{x^3}{4}dx = \frac{1}{16}<br />\end{aligned}<br />\end{equation*}<br />y así se tiene que el valor máximo es $\frac{1}{16}$ alcanzado en la función $f(x) = \frac{x}{2}$.<br />](/tex-image/ccd2db686afbb0a37ca26a28c29aba16.png)
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