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Putnam 2009

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2010, 04:35 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Putnam_2009.pdf ( 29.31k ) Número de descargas: 194

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2010, 03:12 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	B1 Antes de demostrar que cualquier número racional positivo se puede construir como cuociente de productos de factoriales de primos (no necesariamente distintos), se demostrará primero para los naturales. Por inducción en los naturales: $TEX: $$B.I.:\text{ }n=1=\frac{2!}{2!}$$$ y queda demostrado para el caso base. $TEX: $$H.I.:\text{ Supongamos que }\forall k<n,\text{ se tiene que }k=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{k}}{\left( a_{i}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{k}}{\left( b_{j}! \right)}}\text{ }$$$ $TEX: $$\text{ donde }a_{i}\text{ y }b_{j}\text{ son primos para }i=1...r_{k},j=1...q_{k}$$$ $TEX: $$T.I.:\text{ Por demostrar: }n\text{ se puede escribir como cuociente de productos de factoriales de primos}\text{.}$$$ Dividamos en 2 casos: Caso 1) n es primo. Notemos que $TEX: $$n=\frac{n!}{\left( n-1 \right)!}=\frac{n!}{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{k}}$$$ . Como los elementos de la productoria del denominador son menores que n, por H.I. se tiene que $TEX: $$k=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{k}}{\left( a_{i}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{k}}{\left( b_{j}! \right)}}$$$ , luego: $TEX: $$n=\frac{n!}{\left( n-1 \right)!}=\frac{n!}{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{k}}=\frac{n!\prod\limits_{k=1}^{n-1}{\prod\limits_{j=1}^{q_{k}}{\left( b_{j}! \right)}}}{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{\prod\limits_{i=1}^{r_{k}}{\left( a_{i}! \right)}}}$$$ y como $TEX: $$n,\text{ }a_{i}\text{ y b}_{j}$$$ son primos, se completa la demostración. Caso 2) n no es primo (Ya se probó para n=1) Por Teorema Fundamental de la Aritmética, n se puede descomponer en la factorización canónica de primos: $TEX: $$n=\prod\limits_{k=1}^{r}{p_{k}^{a_{k}}}=\prod\limits_{k=1}^{r}{\prod\limits_{m=1}^{a_{k}}{p_{k}}}$$$ en que los $TEX: $$p_{k}$$$ son primos y los $TEX: $$a_{k}$$$ son enteros no negativos. Como n no es primo, entonces necesariamente los primos que lo dividen son estrictamente menores que n, luego por H.I. se cumple que $TEX: $$p_{k}=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{p_{k}}}{\left( a_{i}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{p_{k}}}{\left( b_{j}! \right)}}$$$ , luego: $TEX: $$n=\prod\limits_{k=1}^{r}{p_{k}^{a_{k}}}=\prod\limits_{k=1}^{r}{\prod\limits_{m=1}^{a_{k}}{p_{k}}}=\frac{\prod\limits_{k=1}^{r}{\prod\limits_{m=1}^{a_{k}}{\prod\limits_{i=1}^{r_{p_{k}}}{\left( a_{i}! \right)}}}}{\prod\limits_{k=1}^{r}{\prod\limits_{m=1}^{a_{k}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{p_{k}}}{\left( b_{j}! \right)}}}}$$$ y como los $TEX: $$a_{i}\text{ y b}_{j}$$$ son primos, se completa la demostración. Por lo tanto, se demuestra que todo número natural se puede escribir como cuociente de productos de factoriales de primos. Para completar la demostración para números racionales positivos, recordamos que: $TEX: $$m\in \mathbb{N}\wedge n\in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{m}{n}\in \mathbb{Q}^{+}$$$ Sean m y n números naturales. Sabemos que por la demostración anterior: $TEX: $$m=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{m}}{\left( a_{i}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{m}}{\left( b_{j}! \right)}},\text{ }n=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{n}}{\left( c_{i}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{n}}{\left( d_{j}! \right)}}$$$ en que los $TEX: $$a_{i}\text{, b}_{j},\text{ }c_{i}\text{ y }d_{j}$$$ son primos. Finalmente: $TEX: $$\frac{m}{n}=\frac{\prod\limits_{i=1}^{r_{m}}{\left( a_{i}! \right)}\cdot \prod\limits_{j=1}^{q_{n}}{\left( d_{j}! \right)}}{\prod\limits_{j=1}^{q_{m}}{\left( b_{j}! \right)}\cdot \prod\limits_{i=1}^{r_{n}}{\left( c_{i}! \right)}}$$$ y como los $TEX: $$a_{i}\text{, b}_{j},\text{ }c_{i}\text{ y }d_{j}$$$ son primos, se completa la demostración. Por lo tanto, se concluye que todo número racional positivo se puede escribir como cuociente de productos de factoriales de primos. -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

ol1v3r Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2013, 09:05 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 340 Registrado: 18-May 06 Desde: ..la eskinaa...!!! Miembro Nº: 1.125 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A1 Sea $TEX: $(x,y)\in \mathbb R^2 $$ y $TEX: $a\in \mathbb R$$ con $TEX: $a\ge 0$$ , los siguientes son cuatro cuadrados: - $TEX: $A=(x,y), B=(x+a,y), C=(x+a,y+a), D=(x,y+a)$$ - $TEX: $A=(x,y), D=(x,y+a), E=(x-a,y+a), F=(x-a,y)$$ - $TEX: $A=(x,y), F=(x-a,y), G=(x-a,y-a), H=(x,y-a)$$ - $TEX: $A=(x,y), H=(x,y-a), I=(x+a,y-a), B=(x+a,y)$$ Aplicando la función: - $TEX: $f(A)+f(B)+f©+f(D)=0$$ - $TEX: $f(A)+f(D)+f(E)+f(F)=0$$ - $TEX: $f(A)+f(F)+f(G)+f(H)=0$$ - $TEX: $f(A)+f(H)+f(I)+f(B)=0$$ Sumando todas estas ecuaciones y teniendo en cuenta que BDFH y CEGI son cuadrados se tiene: $TEX: $4f(A)=0\Longrightarrow f(x,y)=f(A)=0$$ demostrando lo pedido. Mensaje modificado por ol1v3r el Jun 2 2013, 09:29 PM

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