 Control 1 2010/2, Cálculo vectorial |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Cálculo Avanzado  |
 Dec 20 2010, 08:35 PM
Publicado:
#1
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: <br />\begin{center}<br /> \textbf{Control 1}<br />\end{center}<br /><br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P1.}]<br /> Sea<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> \vec{F} = \displaystyle 2\frac{\cos{\theta}}{r^3} \hat{r} + \frac{\sin{\theta}}{r^3} \hat{\theta}<br /> \end{equation*}<br /> <br /> con $(r, \theta, z)$ las coordenadas cilíndricas. Utilice las fórmulas para los operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas para:<br /> \begin{itemize}<br /> \item[i)] (1.5 ptos.) Calcular $\mathop{\mathrm{div}} \vec{F}$ en $\mathbb{R}^3\ \setminus$ eje Z.<br /> \item[ii)] (1.5 ptos.) Verificar que $\mathop{\mathrm{rot}} \vec{F} = \vec{0}$ en $\mathbb{R}^3\ \setminus$ eje Z.<br /> \item[iii)] (1.5 ptos.) Calcular $\int_{\mathcal{C}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ donde $\mathcal{C}$ es un círculo de ecuación $x^2 + y^2 = a^2$ en el plano $z = H$ (con $H$ cte. y $a > 0$).<br /> \item[iv)] (1.5 ptos.) ¿Es $\vec{F}$ conservativo en $\mathbb{R}^3\ \setminus$ eje Z? Justifique su respuesta.<br /> <br /> \textbf{Indicación:} Justifique que $\int_{\mathcal{C}} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0, \forall \mathcal{C}$ curva cerrada que no pasa por el eje Z.<br /> \end{itemize}<br /> <br /> \textbf{Indicación:} Puede usar que, si $\vec{F} = F_u \hat{u} + F_v \hat{v} + F_w \hat{w}$ entonces<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> \mathop{\mathrm{div}} \vec{F} = \displaystyle\frac{1}{h_u h_v h_w} [ \frac{\partial}{\partial u} (F_u h_v h_w) + \frac{\partial}{\partial v} (F_v h_u h_w) + \frac{\partial}{\partial w} (F_w h_u h_v)]<br /> \end{equation*}<br /> \begin{equation*}<br /> \mathop{\mathrm{rot}} \vec{F} = \displaystyle{\frac{1}{h_u h_v h_w}}\begin{vmatrix} h_u \hat{u} & h_v \hat{v} & h_w \hat{w}\\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w}\\F_u h_u & F_v h_v & F_w h_w \end{vmatrix}\<br /> \end{equation*}<br /> <br /> donde $h_u, h_v, h_w$ son los factores escalares asociados al sistema coordenado.<br />\end{itemize}<br />](./tex/adf039c46dbbb3908d2a28ef35c29cc5.png) ![TEX: <br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P2.}]<br /> \begin{itemize}<br /> \item[a)] (3.0 ptos.) Calcule $I = \int_S \mathop{\mathrm{rot}} \vec{F} \cdot d\vec{S}$ mediante el Teorema de Stokes (es decir el valor de $I$ se debe obtener mediante el cálculo de la OTRA integral del Teorema), para $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, 2x)$ y la superficie $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4$ de la figura,<br /> <br /> donde<br /><br /> \begin{itemize}<br /> \item $S_1$: disco de radio $a$.<br /> \item $S_2$: $\frac{3}{4}$ del manto del cilindro (radio $a$ y altura $h$).<br /> \item $S_3$: Triángulo rectángulo (catetos $a$ y $h$).<br /> \item $S_4$: $\frac{3}{4}$ del disco (radio $a$).<br /> \end{itemize}<br /> <br /> (Eje del cilindro = Eje Z, plano XY contiene a $S_4$, $S_3$ contenido en el plano XZ).<br /> <br /> \item[b)] (3.0 ptos.) Sean $f(x, y, z) = x^2 + 2xy + z^2 - 3x + 1$ y $\vec{F}(x, y, z) = (yz, 4yz, x^2 + y^2)$ y sea la región $R = \{(x, y, z) : 0 \leq z \leq 3 - x^2 - y^2\}$.<br /> <br /> Justifique que el campo vectorial $\vec{G}(x, y, z) = \nabla f(x, y, z) + \mathop{\mathrm{rot}} \vec{F}(x, y, z)$ y la región $R$ satisfacen el Teorema de Gauss. Escriba la correspondiente igualdad que establece el teorema (en términos de $f$ y $F$) y calcule<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> I = \displaystyle\int_{\partial R} \vec{G} \cdot d\vec{S}<br /> \end{equation*}<br /> <br /> usando la definición de Integral de Flujo. Utilizando el valor de $I$ obtenga el valor de la otra integral del Teorema.<br /> \end{itemize}<br />\end{itemize}<br />](./tex/216a238f14d1e78948848067a1ac5c5a.png)  ![TEX: <br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P3.}]<br /> \begin{itemize}<br /> \item[a)] (3.0 ptos.) Calcular<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> I = \displaystyle \int_\gamma \left( \frac{x-2}{(x-2)^2 + (y-1)^2} -2y \right)dx + \left( \frac{y-1}{(x-2)^2 + (y-1)^2} \right) dy<br /> \end{equation*}<br /> <br /> usando el Teorema de Green, donde $\gamma$ es el arco del cuarto de círculo de ecuación $(x-2)^2 + y^2 = 4$ que une $(0,0)$ con $(2,2)$.<br /> <br /> \textbf{Indicación:} Considere la región triangular con vértices $(0,0), (0,2)$ y $(2,2)$.<br /><br /> \item[b)] (3.0 ptos.) Pruebe que el campo<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> \vec{F} = (yz e^{xyz} - 4x)\hat{\imath} + (xz e^{xyz} + z)\hat{\jmath} + (xy e^{xyz} + y) \hat{k}<br /> \end{equation*}<br /> <br /> es conservativo en $\mathbb{R}^3$ y encuentre un potencial. Calcule el trabajo a lo largo de la curva $\gamma$ parametrizada por $r(\theta) = (2\cos{(\theta)}, 2\sin{(\theta)}, \theta)$ con $\theta \in [0, 2\pi]$.<br /> \end{itemize}<br />\end{itemize}<br />](./tex/73e38e29e96a472f4c496515bb392a82.png)
Mensaje modificado por Krebante el Dec 24 2010, 02:03 PM -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!
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Dec 20 2010, 08:37 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
te quedo bcn el dibujo xd
pd:que ramo mas asqueroso -------------------- blep
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Dec 20 2010, 08:51 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(snw @ Dec 20 2010, 09:37 PM)  pd:que ramo mas asqueroso +mucho a eso XD. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!
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Dec 20 2010, 09:17 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
Como hiciste el dibujo?
--------------------  Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed. |
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Dec 20 2010, 09:33 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(Crash! @ Dec 20 2010, 10:17 PM) Como hiciste el dibujo? Con Mathematica XD. CÓDIGO Rasterize[
Show[ ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], z}, {t, 0, 3/2 Pi}, {z, 0, 1.5}, Mesh -> False, PlotStyle -> LightBlue, Axes -> None, Boxed -> False], ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], 1.5}, {t, 0, 2 Pi}, {r, 0, 1}, Mesh -> False, PlotStyle -> LightBlue], ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], 0}, {t, 0, 3/2 Pi}, {r, 0, 1}, Mesh -> False, PlotStyle -> LightBlue], Graphics3D[{LightBlue, Polygon[{{0, 0, 0}, {0, -1, 0}, {0, -1, 1.5}}]}] ] , RasterSize -> 2500] Mensaje modificado por Krebante el Dec 20 2010, 09:34 PM -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!
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Dec 23 2010, 08:44 PM
Publicado:
#6
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 Staff FMAT  Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad:  Sexo: |
QUOTE(snw @ Dec 20 2010, 09:37 PM) te quedo bcn el dibujo xd pd:que ramo mas asqueroso QUOTE(Krebante @ Dec 20 2010, 09:51 PM) +mucho a eso XD. Loco cálculo avazando a mi parecer fue el mejor de todos los cálculos!! la parte de variable compleja fue bkn! y además cálculo vectorial se ocupaba caleta en electro Y te quedó bkn el dibujo kebrante 
-------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico  “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti ![TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />](/tex-image/662cf378c88b8d7170f7919ce7dc427a.png) |
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