 Examen 2010/02, Esop. |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Cálculo Avanzado  |
 Dec 19 2010, 02:30 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P1}}} \,}}\! \right| \hfill \\<br /> {\text{a) (2 puntos) Sea }}z = x + iy{\text{ y }}f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right) + iv\left( {x,y} \right){\text{ holomorfa en }}\mathbb{C}{\text{ tal que }}\frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}<br />{{\partial y}} = 0{\text{ para}} \hfill \\<br /> {\text{todo }}\left( {x,y} \right){\text{en }}\mathbb{C}.{\text{ Pruebe que }}f'\left( z \right){\text{ es constante}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 puntos) Demuestre que }}\int\limits_\gamma {\frac{{\cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{z^3} - 4{z^2}}}dz} = \frac{{i{\pi ^2}}}<br />{4}\left( {{e^i} - {e^{ - i}}} \right),\;{\text{donde }}\gamma :\left| {z - 2} \right| = 3 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 puntos) Demuestre que }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{x\sin \left( x \right)}}<br />{{2 - 2\cos \left( x \right)}}dx} = 2\pi \ln \left( 2 \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Considere }}f\left( z \right) = \frac{z}<br />{{1 - {e^{ - iz}}}}{\text{ y el contorno }}\gamma {\text{ dado por el rectangulo de vertices}} \hfill \\<br /> \left( { - \pi ,\;\pi ,\;\pi + iR,\; - \pi + iR} \right).\;{\text{Asuma que la integral sobre el segmento superior del rectangulo dado de }}f\left( z \right) \hfill \\<br /> {\text{va a }}0{\text{ cuando }}R{\text{ va a infinito}}{\text{. Ademas use que }}\int\limits_0^\infty {\frac{{dy}}<br />{{1 + {e^y}}}} = \ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/d678a3db9151c2aa9447e4013a1b9357.png) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P2}}} \,}}\! \right| {\text{ Sea }}S{\text{ el trozo del manto de paraboloide de ecuacion }}z = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2},{\text{ interior al cilidro }}{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3, \hfill \\<br /> {\text{donde la normal al paraboloide en su vertice apunta hacia abajo}}{\text{. Sea }}\vec F{\text{ el campo dado por }} \hfill \\<br /> \vec F\left( {x,y,z} \right) = \left( {y,x,xz} \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Calcular en rotor de }}\vec F{\text{ sobre }}S: \hfill \\<br /> {\text{a) (2 puntos) Directamente}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 puntos) Aplicando el teorema de Stokes}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 puntos) Usando el teorema de la Divergencia Calcular el flujo del campo }}\vec F{\text{ a traves de }}S \cup T, \hfill \\<br /> {\text{donde }}T{\text{ es la superficie del plano }}z = 2y{\text{ encerrada por el cilindro }}{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Para la aplicacion del Teorema considere R la region encerrada por }}S \cup T{\text{ y que el}} \hfill \\<br /> {\text{campo es el rotor de }}\vec F \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/9c4af9764a2231a746ad2c0e1316d206.png) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P3}}} \,}}\! \right| {\text{ Considere el problema: }} \hfill \\<br /> \left( {{P_u}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial u}}<br />{{\partial t}} - \frac{{{\partial ^2}u}}<br />{{\partial {x^2}}} + 2tu = 0,\;\;x \in \mathbb{R},\;t > 0} \\<br /> {u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right),\;\;\;\;\;\;x \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;} \\<br /><br /> \end{array} } \right. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{a) (1}}{\text{,5 puntos) Aplique la tecnica de la transformada de Fourier a }}\left( {{P_u}} \right).\;{\text{Sea }}\left( {{P_U}} \right){\text{ el problema resultante}} \hfill \\<br /> {\text{(}}U = F\left( u \right){\text{, donde }}F\left( u \right){\text{ es la transformada de Fourier de }}u{\text{)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (1}}{\text{,5 puntos) Resuelva }}\left( {{P_U}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (1}}{\text{,5 puntos) Obtenga la solucion de }}\left( {{P_u}} \right){\text{ a partir de la solucion de }}\left( {{P_U}} \right){\text{ (mediante convolucion)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Recuerde que }}{F^{ - 1}}\left( {{e^{ - t{s^2}}}} \right) = \frac{1}<br />{{\sqrt {2t} }}{e^{ - \frac{{{x^2}}}<br />{{4t}}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{d) (1}}{\text{,5 puntos) Mediante el cambio de variable }}u\left( {x,t} \right) = v\left( {x,t} \right){e^{ - {t^2}}},{\text{ aplicado a }}\left( {{P_u}} \right){\text{ obtenga }}\left( {{P_v}} \right){\text{ y}} \hfill \\<br /> {\text{justifique que }}v*,{\text{ la solucion de }}\left( {{P_v}} \right){\text{ cuando }}f \equiv 1,{\text{ es igual a }}v* \equiv 1. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Tiempo: 3 horas}}{\text{.}}} \,}}\! \right| \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/f0479cee221a225f05b966b84d9cce71.png) --------------------  Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed. |
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Dec 19 2010, 04:25 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
![TEX: <br /><br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P2.}] Primero calculamos el rotor de $\vec{F}$.<br /> <br /> $\nabla \times \vec{F} = -z \hat{y}$.<br /><br /> \begin{itemize}<br /> \item[a)] Podemos parametrizar la superficie usando<br /><br /> $f(x, y) = (x, y, x^2 + (y-1)^2)$ sobre un dominio <br /> <br /> $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + (y - 2)^2 \leq 3 \}$<br /><br /> Notemos que el cambio de variable <br /><br /> \begin{equation*}<br /> (x, y, z) \to (\rho \cos\theta, \rho \sin\theta + 2, z)<br /> \end{equation*}<br /><br /> corresponde a coordenadas cilíndricas centradas en el punto $(0, 2, 0)$.<br /><br /> Así, podemos escribir <br /><br /> \begin{equation*}<br /> g(\rho, \theta) = (\rho \cos\theta, \rho \sin\theta + 2, \rho^2\cos^2\theta + (\rho\sin\theta + 1)^2)<br /> \end{equation*}<br /><br /> Simplificando,<br /><br /> \begin{equation*}<br /> g(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta + 2, \rho^2 + 2\rho\sin\theta + 1)<br /> \end{equation*}<br /><br /> Que con los límites $0 \leq \rho \leq \sqrt{3}, \ \ 0 \leq \rho, < 2\pi$ parametriza a la porción de paraboloide.<br /><br /> Evaluando en el campo, obtenemos <br /><br /> \begin{equation*}<br /> (\nabla \times \vec{F})(g(\rho, \theta)) = (0, -(\rho^2 + 2\rho\sin\theta + 1), 0)<br /> \end{equation*}<br /><br /> Además,<br /> \begin{eqnarray*}<br /> d\vec{S} &=& \displaystyle\frac{\partial g}{\partial \theta} \times \frac{\partial g}{\partial \rho}d\rho d\theta \\*<br /> &=& (2\rho^2 \cos\theta, 2\rho(1 + \rho\sin\theta), -\rho)d\rho d\theta<br /> \end{eqnarray*}<br /><br /> Por lo que <br /> \begin{equation*}<br /> (\nabla \times \vec{F})(g(\rho, \theta)) \cdot d\vec{S} = -2 \rho(1 + \rho\sin\theta)(\rho^2 + 2\rho\sin\theta + 1)d\rho d\theta<br /> \end{equation*}<br /><br /> Finalmente, <br /><br /> \begin{eqnarray*}<br /> \displaystyle\int_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} &=& -2\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \rho(1 + \rho\sin\theta)(\rho^2 + 2\rho\sin\theta + 1)d\rho d\theta \\*<br /> &=& -24\pi<br /> \end{eqnarray*} <br /><br /> \end{itemize}<br /><br /><br />\end{itemize}<br /><br />](./tex/97996921b440deda32469ef3d4af6d1a.png) ![TEX: <br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P2.}]<br /><br /> \begin{itemize}<br /> \item[b)] Utilizamos la misma parametrización anterior, pero con radio constante $\rho = \sqrt{3}$, obteniendo:<br /><br /> \begin{equation*}<br /> \gamma(\theta) = (\sqrt{3}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta, 3 + 2\sqrt{3}\sin\theta + 1)<br /> \end{equation*}<br /><br /> Notamos que esta parametrización recorre la curva en el sentido contrario al utilizado en la parte a), por lo que se agregará un cambio de signo al final.<br /><br /> \begin{equation*}<br /> \vec{F}(\gamma(\theta)) = (\sqrt{3}\sin\theta, \sqrt{3}\cos\theta, 2\cos\theta(2\sqrt{3}+3\sin\theta))<br /> \end{equation*}<br /><br /> \begin{equation*}<br /> \gamma'(\theta) = (-\sqrt{3}\sin\theta, \sqrt{3}\cos\theta, 2\sqrt{3}\cos\theta)<br /> \end{equation*}<br /><br /> \begin{equation*}<br /> \vec{F}(\gamma(\theta)) \cdot \gamma'(\theta) = 3(\cos(2\theta) + 2\cos^2\theta(4 + 2\sqrt{3}\sin\theta))<br /> \end{equation*}<br /><br /> En virtud del teorema de Stokes,<br /><br /> \begin{equation*}<br /> \displaystyle\int_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \int_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r}<br /> \end{equation*}<br /> <br /> por lo que<br /><br /> \begin{eqnarray*}<br /> \displaystyle\int_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} &=& -3\int_0^{2\pi} (\cos(2\theta) + 2\cos^2\theta(4 + 2\sqrt{3}\sin\theta))d\theta \\*<br /> &=& -24\pi.<br /> \end{eqnarray*}<br /> \end{itemize}<br /><br /><br />\end{itemize}<br /><br />](./tex/17e703645de00f426f8c860c948eef33.png) ![TEX: <br />\begin{itemize}<br /> \item[\textbf{P2.}]<br /><br /> \begin{itemize}<br /> \item[c)] Dado que $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$ para cualquier campo $\vec{F}$, por el teorema de la divergencia se tiene que el flujo sobre la región $R$ es cero.<br /><br /> Luego, el flujo sobre la región $S$ debe ser igual a menos el flujo sobre la tapa $T$.<br /><br /> Podemos parametrizar la tapa $T$ usando<br /> <br /> \begin{equation*}<br /> h(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta + 2, 2(\rho\sin\theta + 2))<br /> \end{equation*}<br /><br /> dado que es una porción del plano $z = 2y$. Entonces,<br /><br /> \begin{equation*}<br /> (\nabla \times \vec{F})(h(\rho, \theta)) = (0, -2(\rho\sin\theta + 2), 0)<br /> \end{equation*}<br /><br /> Además,<br /> <br /> \begin{eqnarray*}<br /> d\vec{S} &=& \displaystyle\frac{\partial h}{\partial \rho} \times \frac{\partial h}{\partial \theta}d\rho d\theta \\*<br /> &=& (0, -2\rho, \rho)d\rho d\theta<br /> \end{eqnarray*}<br /><br /> Por lo que <br /> <br /> \begin{equation*}<br /> (\nabla \times \vec{F})(h(\rho, \theta)) \cdot d\vec{S} = 4\rho(2 + \rho\sin\theta) d\rho d\theta<br /> \end{equation*}<br /> <br /> y finalmente<br /><br /> \begin{eqnarray*}<br /> \displaystyle\int_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} &=& -\int_T (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} \\*<br /> &=& -4\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \rho(2 + \rho\sin\theta) d\rho d\theta \\*<br /> &=& -24\pi<br /> \end{eqnarray*}<br /> \end{itemize}<br /><br /><br />\end{itemize}<br /><br />](./tex/9a3069660539be82941175cd28bdb19b.png)
Mensaje modificado por Krebante el Dec 24 2010, 02:13 PM -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!
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Dec 19 2010, 06:44 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P1}}} \,}}\! \right| \hfill \\<br /> {\text{a) Por ser }}f{\text{ holomorfa cumple con las condiciones de cauchy - riemann}} \hfill \\<br /> \frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}<br />{{\partial y}}\;;\;\frac{{\partial u}}<br />{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}<br />{{\partial x}} \hfill \\<br /> {\text{luego como }}\frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}} = - \frac{{\partial v}}<br />{{\partial y}} \Rightarrow \frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}} = 0 \Rightarrow u\left( {x,y} \right) = u\left( y \right) \hfill \\<br /> {\text{analogamente }}\frac{{\partial v}}<br />{{\partial y}} = 0 \Rightarrow v\left( {x,y} \right) = v\left( x \right) \hfill \\<br /> {\text{Como }}\frac{{\partial v}}<br />{{\partial x}}\left( x \right) = - \frac{{\partial u}}<br />{{\partial y}}\left( y \right) \Rightarrow \frac{{{\partial ^2}v}}<br />{{\partial {x^2}}}\left( x \right) = 0 \Rightarrow \frac{{\partial v}}<br />{{\partial x}}\;cte \hfill \\<br /> \Rightarrow f'\left( z \right){\text{ constante}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/d4643b0d81bc8ff31cf297c84f81067e.png) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{b) sea }}f\left( z \right) = \frac{{\cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{z^3} - 4{z^2}}} = \frac{{\cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{z^2}\left( {z - 4} \right)}},\;{\text{Luego }}z = 0 \wedge z = 4{\text{ son polos}}{\text{, ambos en }}\operatorname{int} \left( \gamma \right) \hfill \\<br /> {\text{Res}}\left( {f,0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{d}<br />{{dz}}\left[ {{z^2}f\left( z \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{ - i\pi \left( {z - 4} \right)\sin \left( {{e^{i\pi z}}} \right){e^{i\pi z}} - \cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{{\left( {z - 4} \right)}^2}}} = \frac{{4i\pi \sin \left( 1 \right) - \cos \left( 1 \right)}}<br />{{16}} \hfill \\<br /> {\text{Res}}\left( {f,4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 4} \left( {z - 4} \right)f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 4} \frac{{\cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{z^2}}} = \frac{{\cos \left( 1 \right)}}<br />{{16}} \hfill \\<br /> \therefore \int\limits_\gamma {f\left( z \right)dz} = 2\pi i\left( {{\text{Res}}\left( {f,0} \right) + {\text{Res}}\left( {f,4} \right)} \right) = \frac{{i{\pi ^2}}}<br />{4}\left( {{e^i} - {e^{ - i}}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/76111fcfa1553a05a89d6b3cf3434ed0.png) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{c) }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{x\sin \left( x \right)}}<br />{{2 - 2\cos \left( x \right)}}dx} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}f\left( z \right) = \frac{z}<br />{{1 - {e^{ - iz}}}}{\text{ y }}\gamma {\text{ el contorno rectangular mencionado en el hint (que no se dibujar xD)}} \hfill \\<br /> {\text{en sentido antihorario}}{\text{, evitando la singularidad }}z = 0{\text{ con un semicirculo de radio }}\varepsilon \hfill \\<br /> {\text{sea }}{\gamma _i}{\text{ el segmento de rectangulos seguidos en sentido antihorario (a excepcion de }}\varepsilon ) \hfill \\<br /> {\text{entonces}}{\text{, por el teorema}} \hfill \\<br /> \oint\limits_\gamma {f\left( z \right)dz} = \sum\limits_{i = 1}^5 {\int\limits_{{\gamma _i}} {f\left( z \right)dz} } + \int\limits_\varepsilon {f\left( z \right)dz} = 0 \hfill \\<br /> {\text{luego}}{\text{, por el teorema integral de cauchy }}\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_\varepsilon {f\left( z \right)dz} = \pi i\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} f\left( z \right) = - \pi \hfill \\<br /> {\text{Sea }}{\gamma _1}\left( t \right) = t,\;t \in \left[ {\varepsilon ,\pi } \right];\;\;{\gamma _5}\left( t \right) = t,\;t \in \left[ { - \pi , - \varepsilon } \right] \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left[ {\int\limits_{{\gamma _1}} {f\left( z \right)dz} + \int\limits_{{\gamma _5}} {f\left( z \right)dz} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left[ {\int\limits_{ - \pi }^{ - \varepsilon } {\frac{t}<br />{{1 - {e^{ - it}}}}dt} + \int\limits_\varepsilon ^\pi {\frac{t}<br />{{1 - {e^{ - it}}}}dt} } \right] = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{t}<br />{{1 - {e^{ - it}}}}dt} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int\limits_{{\gamma _3}} {f\left( z \right)dz} = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/cde56a47f308691f3d2e3e1a0f36e586.png) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}{\gamma _2}\left( t \right) = \pi + it;\;t \in \left[ {0,R} \right] \hfill \\<br /> \int\limits_{{\gamma _2}} {f\left( z \right)dz} = i\int\limits_0^R {\frac{{\pi + it}}<br />{{1 - {e^{ - i\left( {\pi + it} \right)}}}}dt} = \int\limits_0^R {\frac{{\pi i - t}}<br />{{1 - {e^{ - i\pi + t}}}}dt} = \int\limits_0^R {\frac{{\pi i - t}}<br />{{1 - {e^{ - i\pi }}{e^t}}}dt} = \int\limits_0^R {\frac{{\pi i - t}}<br />{{1 + {e^t}}}dt} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}{{\gamma '}_4}\left( t \right) = - \pi + it;\;t \in \left[ {0,R} \right]{\text{ (notese que como parametrizamos en sentido inverso}} \hfill \\<br /> {\text{tendremos que hacer un cambio de signo)}} \hfill \\<br /> \int\limits_{{{\gamma '}_4}} {f\left( z \right)dz} = i\int\limits_0^R {\frac{{ - \pi + it}}<br />{{1 - {e^{ - i\left( { - \pi + it} \right)}}}}dt} = \int\limits_0^R {\frac{{ - \pi i - t}}<br />{{1 - {e^{\pi i + t}}}}dt} = \int\limits_0^R {\frac{{ - \pi i - t}}<br />{{1 - {e^t}}}dt} \hfill \\<br /> \Rightarrow \int\limits_{{\gamma _4}} {f\left( z \right)dz} = - \int\limits_{{{\gamma '}_4}} {f\left( z \right)dz} = \int\limits_0^R {\frac{{\pi i + t}}<br />{{1 - {e^t}}}dt} \hfill \\<br /> \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \left[ {\int\limits_{{\gamma _2}} {f\left( z \right)dz} + \int\limits_{{\gamma _4}} {f\left( z \right)dz} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \left[ {2\pi i\int\limits_0^R {\frac{{dt}}<br />{{1 - {e^t}}}} } \right] = 2\pi i\ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \therefore \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{t}<br />{{1 - {e^{ - it}}}}dt} + 0 + 2\pi i\ln \left( 2 \right) - \pi = 0 \hfill \\<br /> \Rightarrow \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{t}<br />{{1 - {e^{ - it}}}}dt} = \pi - 2\pi i\ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{t}<br />{{1 - \cos \left( t \right) + i\sin \left( t \right)}} \cdot \frac{{1 - \cos \left( t \right) - i\sin \left( t \right)}}<br />{{1 - \cos \left( t \right) - i\sin \left( t \right)}}dt} = \pi - 2\pi i\ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{t\left( {1 - \cos \left( t \right)} \right) - it\sin \left( t \right)}}<br />{{2 - 2\cos \left( t \right)}}dt} = \pi - 2\pi i\ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \therefore \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{t\sin \left( t \right)}}<br />{{2 - 2\cos \left( t \right)}}dt} = 2\pi \ln \left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {} \\<br /> \square \\<br /><br /> \end{array} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/cb777d6d76d979a786db98af49f87b54.png)
Mensaje modificado por Crash! el Dec 19 2010, 07:22 PM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed. |
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Jan 1 2011, 04:13 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 740 Registrado: 9-February 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.029 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Que buena que lo subieron, ya que no dejaban llevarlo pa la casa xD, veamos el P3
A) Aplicado transformada de Fourier a (Pu) y notando que: ![TEX: \[\frac{{\partial \mathop {u(x,t)}\limits^ \wedge }}{{\partial t}} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - isx} } \frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}}dx = \frac{{\partial \mathop {u(s,t)}\limits^ \wedge }}{{\partial t}}\]](./tex/ff3bb1c0f0e6d6007ded363d1decbb60.png) , llegamos a ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \frac{{\partial \mathop {u(s,t)}\limits^ \wedge }}{{\partial t}} + \mathop s\nolimits^2 \mathop {u(s,t)}\limits^ \wedge + 2t\mathop {u(s,t)}\limits^ \wedge = 0 \hfill \\<br /> \mathop {u(s,0) = \mathop {f(s)}\limits^ \wedge }\limits^ \wedge \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/404be9c63fd07780bab4db477fa17824.png) ![TEX: \[ \Rightarrow \left( {\mathop P\nolimits_U } \right)\left\{ \begin{gathered}<br /> \frac{{\partial U}}{{\partial t}} + \mathop s\nolimits^2 U + 2tU = 0 \hfill \\<br /> \mathop {U(s,0) = \mathop {f(s)}\limits^ \wedge }\limits^ \wedge \hfill \\ <br />\end{gathered} \right\}\]](./tex/e13366d5c4026b51aee47fbc75a5c6d8.png) B) Fijando (s) y resolviendo por factor integrante, la edo resultante: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \frac{{dU}}{{dt}} + \mathop s\nolimits^2 U + 2tU = 0/\mathop e\nolimits^{\int {(\mathop s\nolimits^2 + 2t)} dt} \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{{d(U\mathop e\nolimits^{\mathop s\nolimits^2 t + \mathop t\nolimits^2 } )}}{{dt}} = 0 \hfill \\<br /> \Rightarrow U(s,t) = c\mathop e\nolimits^{\mathop { - s}\nolimits^2 t - \mathop t\nolimits^2 } \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/586cda2b8d878d867b19ee799b6dc0f6.png) Imponiendo la condición inicial: ![TEX: \[U(s,t) = \mathop {f(s)}\limits^ \wedge \mathop e\nolimits^{\mathop { - s}\nolimits^2 t - \mathop t\nolimits^2 } \]](./tex/1fa57f61cdef0ab73d309ea8eb273d9c.png) C) ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> U(s,t) = \mathop {f(s)}\limits^ \wedge \mathop e\nolimits^{\mathop { - s}\nolimits^2 t - \mathop t\nolimits^2 } \hfill \\<br /> \mathop {u(s,t)}\limits^ \wedge = \mathop {f(s)}\limits^ \wedge \mathop e\nolimits^{\mathop { - s}\nolimits^2 t - \mathop t\nolimits^2 } \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/c3f0cde9d0dfa83656ff9fdc6d35027d.png) Aplicando transformada inversa: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> u(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\mathop F\nolimits^{ - 1} (\mathop {f(s)}\limits^ \wedge ) * \mathop F\nolimits^{ - 1} (\mathop e\nolimits^{\mathop { - s}\nolimits^2 t - \mathop t\nolimits^2 } ) \hfill \\<br /> u(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } (f(x) * \mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{4t}}} ) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/6d3854c6c51fd2998526aa82029cde2b.png) Entonces por convolución: ![TEX: \[u(x,t) = \frac{{\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } }}{{\sqrt {4\pi t} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - \frac{{(\mathop {x - y)}\nolimits^2 }}{{4t}}} } f(y)dy\]](./tex/61463f4e31a8b5af2144613a9ef22851.png) D) Efectuando el cambio de variable indicado: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \frac{{\partial (v(x,t)\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } )}}{{\partial t}} - \frac{{{\partial ^2}(v(x,t)\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } )}}{{\partial {x^2}}} + 2tv(x,t)\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } = 0 \hfill \\<br /> u(x,o) = v(x,0) = f(x) \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{{\partial v(x,t)}}{{\partial t}}\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } - 2tv(x,t)\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } - \mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } \frac{{{\partial ^2}v(x,t)}}{{\partial {x^2}}} + 2tv(x,t)\mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } = 0 \hfill \\<br /> v(x,0) = f(x) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/e0a728721a28b93a7a30d4c0a47adce0.png) luego: ![TEX: \[\left( {\mathop P\nolimits_v } \right)\left\{ \begin{gathered}<br /> \mathop e\nolimits^{ - \mathop t\nolimits^2 } [\frac{{\partial v(x,t)}}{{\partial t}} - \frac{{{\partial ^2}v(x,t)}}{{\partial {x^2}}}] = 0,x \in \mathbb{R},t \succ 0 \hfill \\<br /> v(x,0) = f(x),x \in \mathbb{R} \hfill \\ <br />\end{gathered} \right\}\]](./tex/ac6a5b8c18ee48e8e0c71518203c81f0.png) Luego se el problema se reduce a: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \frac{{\partial v(x,t)}}{{\partial t}} - \frac{{{\partial ^2}v(x,t)}}{{\partial {x^2}}} = 0 \hfill \\<br /> v(x,0) = f(x) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/3cf609988a14cf565eb648320d0f51d3.png) resolviendo de manera análoga a la parte B, llegamos a: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> v(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}(f(x) * \mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{4t}}} ) \hfill \\<br /> \Rightarrow v(x,t) = v * = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - \frac{{(\mathop {x - y)}\nolimits^2 }}{{4t}}} } f(y)dy \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/5823586c7344875145fe5b3787f1f893.png) donde la función de green queda determinada por: ![TEX: \[G(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{4t}}} \]](./tex/b742acde5255907505183beb555f2130.png) entonces: ![TEX: \[v * = \int\limits_{ - \infty }^\infty {G(x - y,t)} f(y)dy\]](./tex/fd42883775f833925b4c63438dc37ca5.png) ahora aplicando combio de variable en : ![TEX: \[v(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - \frac{{(\mathop {x - y)}\nolimits^2 }}{{4t}}} } f(y)dy\]](./tex/e30a7b8ed1934908b25c25efd083de1c.png) obtenemos: ![TEX: \[v(x,t) = v * = \frac{1}{{\sqrt {4\pi t} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{{4t}}} } f(x)dx = \int\limits_{ - \infty }^\infty {G(x,t)} f(x)dx\]](./tex/63c14d7d38e7811bf03667951e208797.png) y como : ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \int\limits_{ - \infty }^\infty {G(x,t)} dx = 1,\forall t \succ 0 \hfill \\<br /> f \equiv 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow v * \equiv 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](./tex/982e4c5e1a0c8ceb69286d33f3b4353a.png)
Mensaje modificado por nicogc4 el Jan 1 2011, 04:21 PM --------------------   |
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