I2 Álgebra Lineal s2-2010

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I2 Álgebra Lineal s2-2010

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2010, 06:15 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1203 - Álgebra Lineal\\<br />Interrogación 2 - Lunes 04 de Octubre de 2010 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $A$ tal que<br /><br />\begin{center} $A\left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />-1<br />\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />0\\<br />-1<br />\end{array}\right]$ y $A\left[\begin{array}{c}<br />0\\<br />1<br />\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />2\\<br />0<br />\end{array}\right]$<br />\end{center}<br /><br />Determine todas las matrices $B$ tales que $BA=2I$.<br /><br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $A$ una matriz cuadrada tal que $A^2+2A+I=0$. Demuestre que $A$ es invertible.<br />\item Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas tales que $AB^t$ es invertible. Demuestre que $A^tB$ es invertible.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $A$ una matriz de $3\times3$. Intercambie la primera y tercera fila de $A$, luego reste a la tercera columna dos veces la segunda y, finalmente, multiplique por $2$ la tercera fila. Llamemos $B$ a la matriz que se obtiene de este proceso. Sabiendo que <br /><br />$$B^{-1} = \left[\begin{array}{rrr}<br />1 & 2 & 3\\<br />0 & 1 & 2\\<br />1 & 0 & 1<br />\end{array}\right]$$<br /><br />use matrices elementales para calcular $A^{-1}$.<br /><br />\item Sean $b = \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />1\\<br />1<br />\end{array}\right]$ y $A=LU$ donde<br /><br />\begin{center} $L = \left[\begin{array}{rrr}<br />1 & 0 & 0\\<br />-2 & 1 & 0\\<br />1 & 3 & 1<br />\end{array}\right]$ y $U= \left[\begin{array}{rrr}<br />1 & -1 & 2\\<br />0 & 1 & -2\\<br />0 & 0 & -1<br />\end{array}\right]$\end{center}<br /><br />Sin calcular $A$ ni $A^{-1}$, determine:<br /><br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br /><br />\noindent $(a)$ La soluci\'on de $A^tx=b$.\\<br />$(b)$ La soluci\'on de $A^tAx=b$.\\<br /><br />\noindent $5.$ <br />\noindent $(a)$ Sea $A$ una matriz. Demuestre que $A^tA$ es definida positiva si y s\'olo si $ker(A)=\{\vec{0}\}$\\<br />\noindent $(b)$ Sean $A$ y $B$ matrices del mismo tamaño, sim\'etricas y definidas positivas. Muestre que la matriz $C = 3A+8B$ es definida positiva.<br /><br />$ Tiempo: 120 minutos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2015, 06:19 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1 $TEX: \noindent Observemos que :<br />$$ A \left( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right )=A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} $$<br />Entonces : <br />$$ A \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $$<br />$A$ es una matriz de 3x2 entonces $B$ debe ser de 2x3<br />Calculamos las filas :<br />$$ \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix} $$ <br />$$ \begin{bmatrix} u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \end{bmatrix}$$<br />La primera fila es de la forma $\begin{bmatrix} x & -x/2 & x-2 \end{bmatrix} $<br />La segunda fila es de la forma $\begin{bmatrix} v & (2-v)/2 & v+2 \end{bmatrix} $<br />Es decir :<br />$$ B = \begin{bmatrix} x & -x/2 & x-2 \\ v & (2-v)/2 & v+2 \end{bmatrix} $$<br />$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2015, 08:50 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 3 $TEX: Del enunciado obtenemos que la matriz $B$ se escribe como : <br />$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}<br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} <br />\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A = B $$<br />Entonces : <br />$$<br />A= \left ( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}<br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} <br />\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right)^{-1}B$$<br />Invertimos todo:<br />$$A^{-1} = B^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}<br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} <br />\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}<br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} <br />\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} <br />$$<br />$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix} $$<br />$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2015, 02:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 4 $TEX: \noindent a) Si $A = LU$ entonces $A^t = U^tL^t$ es decir <br />$$ A^t =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} <br />$$<br />Luego <br />$$<br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} <br />$$<br />Entonces la forma escalonada reducida de $[A^t \|b]$ es <br />$$<br />\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} <br />$$ <br />Luego $ x = [8 , 3 , -1 ]^t$<br />b) Vemos que hay que resolver $ Ax = [8 , 3 , -1 ]^t $ analogamente a a)<br />$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -13 \\ 18 \end{bmatrix} $$<br />Entonces la forma escalonada reducida de $[A \|v]$<br />$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & 18 \end{bmatrix} $$<br />Por lo tanto $x = [-5,23,18]^t$<br />$ Mensaje modificado por Lichiel el Dec 22 2015, 02:44 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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