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I1 Álgebra Lineal s2-2010

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2010, 05:48 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1203 - Álgebra Lineal\\<br />Interrogación 1 - Viernes 03 de Septiembre de 2010 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $u=\left[\begin{array}{c}<br />2\\<br />2\\<br />-1<br />\end{array}\right]$ y $v=\left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />1\\<br />1<br />\end{array}\right]$. Demuestre que el conjunto <br /><br />$$S=\{x\in\mathbb{R}^3:x\perp{u} \wedge x\perp{v}\}$$<br /><br />es una recta y determine su dirección.<br />\item Sea $\{v_1, v_2, v_3\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes de $\mathbb{R}^n$ y $a\in\mathbb{R}$. Demuestre que:<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item El conjunto $\{v_1+v_2, v_1+v_3, v_2+av_3\}$ es linealmente dependiente si y sólo si $a=-1$.<br />\item $<v_1+2v_2, v_1-v_3> = <2v_2+v_3, v_1-v_3>$<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Considere los vectores $u_1 = \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />0\\<br />2<br />\end{array}\right]$, $u_2 = \left[\begin{array}{c}<br />2\\<br />a\\<br />a+4<br />\end{array}\right]$, $u_3 = \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />5\\<br />a+2<br />\end{array}\right]$ y $u_4 = \left[\begin{array}{c}<br />3\\<br />10\\<br />b<br />\end{array}\right]$.<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Determine todos los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para los cuales $u_4\in<u_1, u_2, u_3>$.<br />\item En los casos en que $u_4$ se escribe de forma única como combinación lineal de $u_1, u_2$ y $u_3$, determine los coeficientes de la combinación.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Demuestre que la imagen de $\left<\left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />-1\\<br />3\\<br />0<br />\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}<br />0\\<br />0\\<br />1\\<br />0<br />\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />2\\<br />3\\<br />1<br />\end{array}\right]\right>$ bajo $A = \left[\begin{array}{rrrr}<br />1 & 0 & 1 & 2\\<br />0 & 1 & 1 & 2\\<br />-1 & 0 & -1 &-2<br />\end{array}\right]$ es un plano en $\mathbb{R}^3$. Encuentre la ecuación de dicho plano.<br /><br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br />\noindent $5.$ Sea $A$ una matriz tal que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada $[A\|I]$ es <br /><br />$$\left[\begin{array}{cccc\|ccc}<br />1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1\\<br />0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1\\<br />0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3<br />\end{array}\right]$$<br /><br />\noindent Sin calcular $A$:\\<br /><br />\noindent $(a)$ Decida, justificadamente, si $A$ es $1-1$ y/o sobre.\\<br />$(b)$ Determine el $\operatorname{Ker}(A)$.\\<br />$©$ Resuelva el sistema $Ax=\left[\begin{array}{c}<br />1\\<br />2\\<br />3<br />\end{array}\right]$.<br />$ Tiempo: 120 minutos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2012, 03:29 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2.a $TEX: $\Rightarrow$)$ Examinamos $TEX: $\beta_1(v_1 + v_2) + \beta_2(v_1 + v_3) + \beta_3(v_2 + \alpha v_2)=0$$ al reordenar obtenemos $TEX: $v_1(\beta_1 + \beta_2) + v_2(\beta_1 + \beta_3) + v_3(\alpha\beta_3 + \beta_2)=0$$ , pero dado que los vectores $TEX: $v_1,v_2,v_3$$ son l.i. se tiene que $TEX: $(i) \beta_1=-\beta_2, \\<br />(ii)\beta_1=-\beta_3, \\<br />(iii)\alpha\beta_3=-\beta_2$$ Lo cual implica que, por $TEX: $(i)$$ y $TEX: $(ii)$$ , $TEX: $\beta_2=\beta_3$$ , lo cual, al reemplazar en $TEX: $(iii)$$ implica que: $TEX: $\beta_3(1+\alpha)=0$$ , luego $TEX: $\alpha=-1$$ . $TEX: $\Leftarrow$)$ El razonamiento es el mismo (hágalo ud.mismo). -------------------- Me voy, me jui.

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2015, 06:51 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1. $TEX: Sea $\vec{x} \in S$ entonces cumple :<br />$$\begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} = \vec{0}$$<br />Pivoteamos la matriz:<br />$$\begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} = \vec{0}$$<br />Como hay 2 pivotes y 3 columnas, hay una sola variable libre. Oor lo tanto la solución que vive en $\mathbb{R}^3$ debe ser un recta.<br />Resolviendo el sistema de ecuaciones. La solución será de la forma :<br />$$ \vec{x} = \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$<br />Donde $(1,-1,0)$ es la dirección.$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2015, 07:57 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 3 $TEX: \noindent a)$u_4$ está en $ < u_1,u_2,u_3> $ si y solo si el sistema :<br />$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\ 0 & a & 5 & 10 \\ 2 & a+4 & a+2 & b \end{bmatrix}$$<br />Tiene solución. Pivoteando el sistema : <br />$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\ 0 & a & 5 & 10 \\ 0 & 0 & a-5 & b-16 \end{bmatrix}$$<br />El sistema no tiene solucion cuando $a-5=0$ y $b-16 \neq 0$ por lo tanto el sistema tendrá solución cuando <br />$a \neq 5$ o bien cuando $ b = 16 $ <br /><br />\noindent b) Queremos que la matriz tenga tres pivotes esto sólo ocurre cuando $a \neq 5$ y $a \neq 0$ <br />Ahora a partir de la matriz escalonada tenemos que los coeficientes<br />$\lambda_3 = \frac{b-16}{a-5}$, $\lambda_2 = \frac{10}{a}-\frac{5}{a}\frac{b-16}{a-5}$, $\lambda_1 = 3 - \frac{20}{a}-\frac{10}{a}\frac{b-16}{a-5}$$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2015, 03:26 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 4 $TEX: \noindent Sea S el generado por los tres vectores del enunciado. Los vectores de $S$ se pueden representar por :<br />$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix}$$<br />Ahora el conjunto $Im(A(S))$ se puede representar como los vectores de la forma :<br />$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} <br />\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix}$$ <br />$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 6 \\ -2 & 1 & 7 \\ -4 & -1 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix}$$<br />vemos que <br />$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 6 \\ -2 & 1 & 7 \\ -4 & -1 & 6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 4 & 1 & 6 \\ 0 & 1/2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ <br />Entonces $ \dim A(S) = 2 $ Por lo tanto es un plano de $\mathbb{R}^3$<br />Luego los vectores son de la forma <br />$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}$$ <br />Luego<br />$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & x \\ -2 & 1 & y \\ -4 & -1 & z \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 4 & 1 & x \\ -2 & 1 & y \\ 0 & 0 & x+z \end{bmatrix} $$<br />El sistema tiene solución si y solo si $x+z=0$ que es la ecuación del plano.<br />$ Problema 5 $TEX: \noindent a) La forma escalonada tiene 3 pivotes por lo tanto $\dim (\mathbb{R}^3) =\dim ( Im(A) ) = 3 $ Por lo tanto es sobre <br /><br />\noindent b) de la forma escalonada reducida tenemos que $ t= 0 $, $x+z = 0$, $y + 2z = 0 $. Dejando como variable libre a $z$ la solución es el vector $z(-1,-2,1,0) $ es decir $Ker(A) = <(-1,-2,1,0)^T >$ <br /><br />\noindent c) De la forma escalonada obtenemos las soluciones particulares $Ax_1 = (1, 0, 0)^T $, $Ax_2 = (0, 1, 0)^T $, $Ax_3 = (0, 0, 1)^T $ <br />$x_1 = (1, 0, 0, 1)^T$, $x_2 =(0, 3, -5, 4)$, $x_3 = (0,-1,1,3)$ Luego <br />$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 2A\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix} + 3A\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -7 \\ 18 \end{bmatrix} $$ <br />Por lo tanto la solución general del sistema es :<br />$$ \vec{x}= \left < \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right > + \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -7 \\ 18 \end{bmatrix} $$<br />$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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