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> División de dos polinomios
「Krizalid」
mensaje Jan 28 2007, 11:59 PM
Publicado: #1


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División de dos polinomios

La división de polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente

Regla para dividir dos polinomios

TEX: \begin{enumerate}<br />\item \quad Se prescriben tanto el dividendo como el divisor con respecto a una misma letra.<br />\item \quad Se divide el 1er. t\'ermino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer t\'ermino del cociente.<br />\item \quad Se efect\'ua el producto entre este 1er. t\'ermino del cociente y el divisor, dicho producto se sustrae del dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo cada t\'ermino debajo de su semejante. Si alg\'un t\'ermino de este producto no tiene t\'ermino semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con el orden del dividendo y el divisor.<br />\item \quad Se divide el 1er. t\'ermino del resto entre el 1er. t\'ermino del divisor y tendremos el 2do. t\'ermino del cociente.<br />\item \quad Este 2do. t\'ermino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.<br />\item \quad Se divide el 1er. t\'ermino del 2do. resto entre el primero del divisor y se efect\'uan las operaciones anteriores; y as\'i sucesivamente hasta que el residuo sea cero.<br />\end{enumerate}


TEX: \noindent \boxed{\emph{Ejemplos}}\\<br /><br />\noindent (1) Dividir $3x^2+2x-8$ entre $x+2$.\\<br /><br />\noindent $\underline{\emph{Soluci\'on}}$\\<br /><br />\noindent $\begin{array}{ccccccccccccccc}\ \ 3x^2&+\ 2x&-\ 8&\div&\left| \!{\underline {\,<br />  {x+2} \,}} \right.&=&3x-4\\<br />-3x^2&-\ 6x&\\ \cline{0-1}<br />&-\ 4x&-\ 8&\\<br />&\ \ \ 4x&+\ 8&\\ \cline{2-3}<br />\end{array}$\\<br />\\<br />\\<br />\underline {An\'alisis}: El dividendo y el divisor est\'an ordenados de manera descendente con respecto a $x$.\\<br />\indent Dividimos el primer t\'ermino del dividendo $3x^2$ entre el primero del divisor $x$ y tenemos $3x^2 \div x=3x$. \'Este es el primer t\'ermino del cociente.\\<br />\indent Multiplicamos $3x$ por cada uno de los t\'erminos del divisor y como estos productos deben ser sustra\'idos del dividendo, tendremos $3x \cdot x=3x^2$, para restar $-3x^2$; $3x \cdot 2 = 6x$, para restar $-6x$.\\<br />\indent Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los t\'erminos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reducci\'on; se obtiene $-4x$ y bajamos el $-8$.\\<br />\indent Dividimos $-4x$ entre $x$: $-4x \div x=-4$ y \'este es el segundo t\'ermino del cociente. Este $-4$ hay que multiplicarlo por cada uno de los t\'erminos del divisor y sustraer los productos del dividendo y tendremos:<br /><br />$$-4 \cdot x = -4x, \ \text {para restar} \ +4x; \ -4 \cdot 2=-8, \ \text {para restar} \ 8$$\\<br />\indent Escribimos estos t\'erminos debajo de sus semejantes y haciendo la reducci\'on nos da cero de resto.


TEX: \noindent (2) Dividir $28x^2-30y^2-11xy$ entre $4x-5y$.\\<br /><br />\noindent $\underline{\emph{Soluci\'on}}$\\<br /><br />Ordenando dividendo y divisor de manera decreciente con respecto a $x$, tendremos:\\<br /><br />\noindent $\begin{array}{ccccccccccccccc}<br />\ \ 28x^2&-\ 11xy&-\ 30y^2&\div&\left| \!{\underline {\,<br />  {4x-5y} \,}} \right.&=&7x+6y&\\<br />-28x^2&+\ 35xy&\\ \cline{0-1}<br />&\ \ \ 24xy&-\ 30y^2&\\<br />&-\ 24xy&+\ 30y^2&\\ \cline{2-3}<br />\end{array}$\\<br />\\<br />\\<br />\underline {An\'alisis}: Dividimos $28x^2 \div 4x=7x$. Este es el primer t\'ermino del cociente y lo multiplicamos por cada uno de los t\'erminos del divisor: $7x \cdot 4x=28x^2$, para restar $-28x^2$; $7x \cdot -5y=-35xy$, para restar $35xy$. Escribimos estos t\'erminos debajo de sus semejantes en el dividendo y los reducimos. El resto es $24xy-30y^2$. Se divide el primer t\'ermino del resto entre el primero del divisor: $24xy \div 4x=6y$. Este es el segundo t\'ermino del cociente.\\<br />\indent Se multiplica $6y$ por cada uno de los t\'erminos del divisor: $6y \cdot 4x=24xy$, para restar $-24xy$; $6y \cdot -5y=-30y^2$, para restar $30y^2$. Escribimos estos t\'erminos debajo de sus semejantes y haciendo la reducci\'on nos da cero de resto. $7x+6y$ es el cociente de la divisi\'on.


Prueba de la división

TEX: \indent Puede verificarse, cuando la divisi\'on es exacta, efectuando el producto entre el divisor y el cociente, de \'esta manera, el resultado debe reproducir el dividendo si la operaci\'on est\'a correcta.\\<br /><br />\noindent De acuerdo con los dos ejemplos expuestos anteriormente, se verifica:<br />\begin{eqnarray*}<br />  3x^2  + 2x - 8 &=& (x + 2)(3x - 4) \hfill \\<br />   &=& 3x^2  - 4x + 6x - 8 \hfill \\<br />   &=& 3x^2  + 2x - 8 \ \blacksquare \hfill \\<br />   \hfill \\<br />  28x^2  - 11xy - 30y^2  &=& (4x - 5y)(7x + 6y) \hfill \\<br />   &=& 28x^2  + 24xy - 35xy - 30y^2  \hfill \\<br />   &=& 28x^2  - 11xy - 30y^2 \ \blacksquare \hfill \\ <br />\end{eqnarray*}


TEX: (3) Dividir $x^{12}+x^6y^6-x^8y^4-x^2y^{10}$ entre $x^8+x^6y^2-x^4y^4-x^2y^6$\\<br /><br />$\underline{\emph{Soluci\'on}}$

TEX: $\begin{array}{ccccccccccccccc}<br />\ \ x^{12}&&-\ x^8y^4&+\ \ x^6y^6&&-\ x^2y^{10}&\div&\left| \!{\underline {\,<br />  {x^8+x^6y^2-x^4y^4-x^2y^6} \,}} \right.\\<br />-x^{12}&-\ x^{10}y^2&+\ x^8y^4&+\ \ x^6y^6&\\ \cline{0-3}<br />&-\ x^{10}y^2&&+\ 2x^6y^6&\\<br />&\ \ \ x^{10}y^2&+\ x^8y^4&-\ \ x^6y^6&-\ x^4y^8&\\ \cline{2-5}<br />&&\ \ \ x^8y^4&+\ \ x^6y^6&-\ x^4y^8&-\ x^2y^{10}&\\<br />&&-\ x^8y^4&-\ \ x^6y^6&+\ x^4y^8&+\ x^2y^{10}&\\ \cline{3-6}<br />\end{array}$\\<br />\\<br />\\<br />$c(xy)=x^4-x^2y^2+y^4$


TEX: (4) Dividir $11a^3-3a^5-46a^2+32$ entre $8-3a^2-6a$\\<br /><br />$\underline{\emph{Soluci\'on}}$

TEX: $\begin{array}{ccccccccccccccc}<br />\ \ 32&&-\ 46a^2&+\ 11a^3&&-\ 3a^5&\div&\left| \!{\underline {\,<br />  {8-6a-3a^2} \,}} \right.&=&4+3a-2a^2+a^3\\<br />-32&+\ 24a&+\ 12a^2&\\ \cline{0-3}<br />&\ \ \ 24a&-\ 34a^2&+\ 11a^3&\\<br />&-\ 24a&+\ 18a^2&+\ \ 9a^3&\\ \cline{2-4}<br />&&-\ 16a^2&+\ 20a^3&\\<br />&&\ \ \ 16a^2&-\ 12a^3&-\ 6a^4&\\ \cline{3-5}<br />&&&\ \ \ \ \ 8a^3&-\ 6a^4&-\ 3a^5&\\<br />&&&-\ \ \ 8a^3&+\ 6a^4&+\ 3a^5&\\ \cline{4-6}<br />\end{array}$
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「Krizalid」
mensaje Jan 29 2007, 01:56 PM
Publicado: #2


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Cociente mixto

TEX: \indent En todos los casos de divisi\'on estudiados hasta ahora, el dividendo era divisible exactamente por el divisor. Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la divisi\'on no es exacta, nos da un resto y esto origina los \textbf{cocientes mixtos}, as\'i llamados porque constan de entero y fracci\'on.\\<br />\indent Cuando la divisi\'on no es exacta debemos detenerla cuando el primer t\'ermino del resto es de grado inferior al primer t\'ermino del divisor con respecto a una misma letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el resto es menor que el exponente de la misma letra en el divisor, adicionamos al cociente, una fracci\'on que nace del cuociente entre el resto y el divisor.\\<br />\\<br />\\<br />\boxed{\emph{Ejemplos}}\\<br /><br />\noindent (1) Dividir $x^2-x-6$ entre $x+3$\\<br /><br />\noindent \underline {\emph{Soluci\'on}}\\<br /><br />\noindent $\begin{array}{ccccccccccccccc}<br />\ \ x^2&-\ \ x&-\ \ 6&\div&\left| \!{\underline {\,{x+3} \,}} \right.&=&x-4+\dfrac{6}{x+3}\\<br />-x^2&-\ 3x&\\ \cline{0-1}<br />&-\ 4x&-\ \ 6&\\<br />&\ \ \ 4x&+\ 12&\\ \cline{2-3}<br />&&\ \ \ \ 6<br />\end{array}$\\<br />\\<br />\\<br />\indent El resto no tiene $x$, as\'i que es de grado cero con respecto a $x$ y el divisor es de primer grado con respecto a $x$, luego aqu\'i detenemos la divisi\'on porque el resto es de grado inferior al divisor. Ahora adicionamos al cociente $x-4$ la fracci\'on $\dfrac{6}{x+3}$, de modo semejante a como procedemos en Aritm\'etica cuando nos sobra un residuo.


TEX: \noindent (2) Dividir $6m^4-4m^3n^2-3m^2n^4+4mn^6-n^8$ entre $2m^2-n^4$\\<br /><br />\noindent \underline {\emph{Soluci\'on}}\\<br /><br />\noindent $\begin{array}{ccccccccccccccc}<br />\ \ 6m^4&-\ 4m^3n^2&-\ 3m^2n^4&+\ 4mn^6&-\ n^8&\div&\left| \!{\underline {\,{2m^2-n^4} \,}} \right.&=&3m^2-2mn^2+\dfrac{2mn^6-n^8}{2m^2-n^4}\\<br />-6m^4&&+\ 3m^2n^4&\\ \cline{0-2}<br />&-\ 4m^3n^2&&+\ 4mn^6&\\<br />&\ \ \ 4m^3n^2&&-\ 2mn^6&\\ \cline{2-4}<br />&&&\ \ \ 2mn^6& -\ n^8&\\<br />\end{array}$\\<br />\\<br />\\<br />\indent El resto es $2mn^6-n^8$. Hemos detenido la operaci\'on al ser el primer t\'ermino del resto $2mn^6$ en el cual $m$ tiene exponente 1 mientras que en el primer t\'ermino del divisor $m$ tiene exponente 2, luego adicionamos al cociente la fracci\'on que tiene por cuociente, entre el resto y el divisor.
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「Krizalid」
mensaje Jan 29 2007, 06:51 PM
Publicado: #3


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De esta manera se cierra este episodio carita2.gif carita2.gif

Espero que les sirva a todos aquellos que deseen recordar esta materia o bien los que recién la están aprendiendo o los que la quieren aprender.

Versión PDF jpt_chileno.gif

Archivo Adjunto  Div._Polinomios.pdf ( 52.92k ) Número de descargas:  711


Saludos jpt_chileno.gif jpt_chileno.gif jpt_chileno.gif
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AndrIu
mensaje Feb 4 2007, 12:07 PM
Publicado: #4


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gracias cualquier duda te la hago saber





rexus.gif rexus.gif rexus.gif


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charly1234
mensaje Feb 7 2007, 12:24 AM
Publicado: #5


Dios Matemático
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Creo que a habia agradecido que pusieras esto...

Bueno no importa, te lo vuelvo a agradecer, Muy buen aporte... clap.gif clap.gif


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FOXXX
mensaje Feb 7 2007, 11:50 AM
Publicado: #6


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wahaHHAHa enserio es un muy buen trabajo la embarraste....SR. colabOrador

fmat jaJAjjA....puxa grax por que se me habia olvidado como se hacia pero me

acorde saludos y sigue asi contribuyendo con el foro de gran manera ......suerte

en la psu 2007 pohh!!!

kool2.gif


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El éxito es el fracaso superado por la perseverancia
La excelencia no es un acto.
La excelencia es un hábito

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Asi no mas pohh...!!!!
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vicer
mensaje Feb 23 2007, 05:22 PM
Publicado: #7


Principiante Matemático
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hola krizalid...............una consulta, conoces alguna forma más corta ke la ke presentaste para dividir polinomios?............se agradece la respuesta...........
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「Krizalid」
mensaje Feb 23 2007, 05:25 PM
Publicado: #8


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Hola vicer, bienvenido jpt_chileno.gif jpt_chileno.gif

Pues la verdad, este contenido se basa en la explicación cómo dividir dos polinomios.

En otros casos, no es necesario efectuar las divisiones puesto que pueden identificarse sumas por diferencias, suma y diferencia de cubos perfectos, etc. Todo depende del enunciado y lo que se pida de él.

Saludos jpt_chileno.gif jpt_chileno.gif
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Zirou
mensaje Feb 23 2007, 08:17 PM
Publicado: #9


Máquina que convierte café en teoremas
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CITA(vicer @ Feb 23 2007, 07:22 PM)
hola krizalid...............una consulta, conoces alguna forma más corta ke la ke presentaste para dividir polinomios?............se agradece la respuesta...........
*


si quieres saber si tu polinomio realmente se puede dividir o no se usa Ruffini o Teorema del Resto

Saludos


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TEX: $mathcal{Z}$  $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$





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Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.
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karnack
mensaje Feb 23 2007, 11:54 PM
Publicado: #10


Dios Matemático Supremo
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Mensaje modificado por karnack el Sep 21 2007, 11:04 PM
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