Semana del 1 al 7 de Septiembre, Sin solución publicada: 1, 2, 5, 6, 7 Opciones

[=3fR4=]

Tal vez no sea tan directo, pero sí es clásico

Problema 5: Demuestre que 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n no es entero, para todo n natural

Hola.. soy nuevo aqui, haciendo un pequeño vistazo se me ocurrio que podia solucionar el problema 5, por contradicción:

supongamos por contradiccion que :
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = x , x entero para todo n natural
--> 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1) = y , y entero para todo n natural.

x = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = (n[1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)]+1)/n
, es decir
x = (n[1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)] +1)/n
reemplazando:

x = (ny+1)/n x e y enteros, n natural

De acuerdo a lo anterior, n al ser natural tiene sólo dos caminos :
ser par (n = 2z) ; o impar (n = 2z+1) , para todo z entero positivo,
ya que n no puede ser 1 (porque con uno si se cumple

Tenemos ahora tres casos posibles, todos contradictorios:

1) Si n es par, entonces:

x=(2zy+1)/(2z) , analizando la situacion tenemos un impar divido por un par,
y x jamas podria ser entero de esta forma

2) Si n es impar hay otros dos casos:

a) que y tambien sea impar

x=[(2z+1)y+1]/(2z+1) ,
impar por impar es siempre impar y al sumarle uno obtenemos un par. nos quedaria que x = par/ impar , x tampoco puede ser entero de esta forma.

b) que y sea par y=2r

x=[2r(2z+1)+1]/(2z+1)
x= 2r(2z+1)/(2z+1) +1/(2z+1)

-->X=2r + 1/(2z+1)

En este caso 2r es entero y 1/(2z+1) < 1, entonces x es un numero mixto y no entero.

Bueno creo que igual me fui en la vola con la respuesta, pero si alguien tiene un metodo mas facil mejor para todos.

[Icaro]

no estoy seguro de que este bueno, yo en un principio tambien pense algo asi , el problema que veo es que tu asumes que se cumple para todo n, pero tambien que se cumple para n-1.
cosa que no tiene por que cumplirse. me explico aqui tu pusiste:
"supongamos por contradiccion que :
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = x , x entero para todo n natural
--> 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1) = y , y entero para todo n natural."

para negar una proposicion del tipo Para Todo, se realiza con una proposicion del tipo Existe, es decir la contradiccion que deberias plantear es:
"supongamos por contradiccion que Existe un n_o talque
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n_o =X con X en |N", luego si existe ese n_o no necesariamente se debe tener que con n_o -1 tambien la suma te de un natural , luego tu demostracion esta mala!!!!!

[Icaro]

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[S. E. Puelma Moy...]

  supongamos por contradiccion que :
          1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = x ,      x entero para todo n natural
-->    1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1) = y , y entero para todo n natural.

Tengo una crítica que hacer al respecto, justificando que la solución no es correcta: la suposición por contradicción. Quieres demostrar que "algo no pasa, para todo natural". La suposición por contradicción, es que "existe un natural donde sí pasa" (observa que basta con uno que arruine todo)"

Un asunto de cuantificadores de lógica. Cuando tienes una situación general, y quieres contradecirla, o negarla en realidad, basta con un contraejemplo... basta con uno que no cumpla la condición, y se arruina la conclusión general. Por ejemplo, para negar la afirmación "todos los hombres son zurdos", basta con encontrar un hombre diestro. Tal vez el ejemplo es aclaratorio

[=3fR4=]

Tal vez no sea tan directo, pero sí es clásico

Problema 5: Demuestre que 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n no es entero, para todo n natural

upsss ..tienen razon grave error ... para otra estare mas atento logicamente ... pero tambien se me habia ocurrido esto ....

Nótese: La suma resultante siempre es impar/par , y eso nunca es un entero

Demostracion:

En una serie de numeros consecutivos 1,2,3,4,...,n. podemos deistinguir las siguientes categorias de numeros de acuerdo a su factorizacion prima, dados a, b y c numeros primos impares, y x entero >0
1) n° cuyo unico factor primo es 2 ejm 2^x
2) n° cuyos factores primos son, entre otros, 2 ejm 2ab*..*c
3) n° que no incluyen a dos en su factorizacion prima ejm ab*...*c

bueno consideremos a n>o=2, ya que si es 1, la suma es 1 que si es entero

entonces haremos la suma en tres partes, cada una es el inverso multiplicativo de cada agrupacion anterior ( de a, 1/a). Como queremos saber si es o no entero, el uno que esta al principio de la suma no interesa .

1) 1/2+1/2^2+...+1/2^(x-1)+1/2^x = (2^x-1)/2^x , es decir impar/par

2) 1/2a+1/2b+1/2abc+...+1/(2^m)(ab) , esto puede dar como resultado impar/par o par/par , dependiendo si hay una cantidad par o impar de estos numeros con factor 2^m desde 2 hasta n... donde m<x, debido a que son los inversos de numeros consecutivos, y donde el denominador tendra incluido a (2^m)(ab..c) , suponiendo a m como el mayor exponente de dos presente

3) 1/a+1/b=(a+b)/ab o 1/a+1/b+1/c=(bc+ac+ab)/abc
dependiendo de la cantidad de numeros impares que haya entre 2 y n se obtiene un que si hay par numeros de nuemeros impares entonces el resultado de esta suma sera par/impar, ysi hay impar cantidad de impares, sera impar/impar

Suma:

(2^x-1)/2^x + (par o impar)/(2^m)(ab..c) + (par o impar)/impar,
resumire un par o impar por una k e y .. y a z como impar
(2^x-1)/2^x + k/(2^m)(ab..c) + y/z
como x>m .. entonces
[(2^x-1)(ab...c)z + 2^(x-m)z + 2^x(ab...c)y]/2^x(ab..c)z + 1
y como x>0
(impar+par+par)/par + 1 = impar/par + 1 y esto nunca es entero

Bueno asi considero demostrado que 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n no es entero, para todo n natural
Espero para otra vez hacer explicaciones mas cortas xD y gracias por las correcciones.