Semana del 1 al 7 de Septiembre, Sin solución publicada: 1, 2, 5, 6, 7 Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema 1

Encuentre todos los polinomios tales que

Facilito para partir..cierto?
Saludos

[Rurouni Kenshin]

Problema 2

Sean e números enteros tales que . Probar que es un cuadrado perfecto

Veamos como andan en algebra...

[Gp20]

Problema 3:

Sabiendo que y , determine el número de dígitos de .

[Gp20]

Problema 4

Calcule el valor de

[S. E. Puelma Moy...]

Tal vez no sea tan directo, pero sí es clásico

Problema 5: Demuestre que no es entero, para todo

[S. E. Puelma Moy...]

Uno de construcciones geométricas, cosa que no hemos revisado mucho en los problemas anteriores... también es clásico

Problema 6: Dados tres puntos no colineales: , construya -usando sólo regla y compás- una circunferencia (que llamaremos ) con centro en , tal que las rectas tangentes a , que pasan por y , sean paralelas entre sí.

[MasterIN®]

[b]Problema 4

Calcule el valor de
screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img172.imageshack.us/img172/81/raiz2uh.png');}" />

Esta expresión, que tiene n terminos 2, en potencias (para verlo más simple), la podemos notar como:

2^(1/2) * 2^(1/4) * 2^(1/8) * ........................ * 2^(1/2^n)

De lo que obtenemos 2^(1/2+1/4+1/8+............+1/2^n)

Luego, para sumar los exponentes, nos damos cuenta que MCM es 2^n
Y... bueno, cada exponente se cancela, quedando:

2^([1+2+4+8+............+2^(n-1)]/2^n)

Ahora vamos a calcular la suma 1+2+4+8+..........+ 2^(n-1)

Ocupemos inducción:

1 = 1 ( 2^1 - 1)
1 + 2 =3 (2^2 - 1 )
...
...
...
1+2+4+8.........+2^(n-1) = (1+2+4+..........+2^[n-2]) + 2^(n-1) = 2^(n-1) - 1 + 2^n-1

De esto último queda que la suma es 2*2^(n-1) - 1, osea 2^n - 1

Por lo tanto, la expresión original, equivale a 2^([2^n - 1]/2^n)

Y pasando esto último a raíz, quedaría: La raíz 2^n-ésima de 2 elevado a 2^n menos 1.


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img172.imageshack.us/img172/81/raiz2uh.png');}" />
=
screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img296.imageshack.us/img296/289/raiz3jl.gif');}" />


Pero, [2^n - 1]/2^n tiende a ser 1 (veanlo como (x-1)/x = 1 - (1/x) )
por lo tanto, la expresión 2^([2^n - 1]/2^n) tiende a 2^1, osea, 2...

Gracias....

Aps!!! n es el número de 2 y por ende el número de raíces...y el número de raíces es infinito

QUEPD

y...no hay + ... au revoir


by mAsTeR®

EDITADO

[Rurouni Kenshin]

1 = 1 ( 2^1 - 1)
1 + 2 =3 (2^2 - 1 )
...
...
...
1+2+3+4+8.........+n-1 = (1+2+3+4+..........+n-2) + n-1 = 2^(n-1) - 1 + 2^n-1

Observa lo que has escrito...
Por ultimo la idea es ver cuanto vale esa expresion cuando hay infinitas raices cuadradas...o sea se pide el calculo de un limite
Saludos

[Rurouni Kenshin]

Como hint,considera el valor de:
(con )
Luego
Asi
Luego
Finalmente
Ahora si n tendiera a infinito y considerasemos entonces tenderia a .
Luego tenderia a
Ahora fijate que pasa si
Saludos

Trata de generalizar con un con ,
Trata de probar que:

donde:
es el primer termino de la progresion geometrica.

es el numero de terminos de la sumatoria.

[Rurouni Kenshin]

Desafio de la Semana
Sea ABCD un cuadrilatero convexo tal que <ABD=42,<DBC=30,<BCA=72 y <ACD=12.
Calcular el valor del <DAC.

PD:Veamos si alguien es capaz de reproducir y justificar todo lo hecho en la clase pasada donde este problemita les brindo bellos momentos