Mezclando y mezclando - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Variable Compleja

Reply to this topic

Start new topic

Mezclando y mezclando

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2010, 08:27 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $f\in \mathrm H\left(\mathbb D\right)$ tal que <br />$$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k.$$<br />Muestre que el área de $f\left(\mathbb D\right)$ está dada por<br />$$A=\pi\sum_{k=1}^\infty k\|a_k\|^2.$$<br />Hint: Recuerde que $J_f=\|f'\|^2$.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

JCCJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2010, 04:55 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 20-November 10 Miembro Nº: 80.595 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sabemos que la expresión para el área de $f(\mathbb{D})$ (donde por cierto $\mathbb{D}$ debe ser el disco unitario, de lo contrario la aseveración es falsa no?) estará dada por:<br /><br /><br />\begin{displaymath} A=\int \int_{\mathbb{D}} \|f'(z)\|^{2}dxdy \qquad con \qquad z=x+iy \end{displaymath}<br /><br />Luego como<br /><br />\begin{displaymath} f'(z)=\sum_{k=1}^{\infty}k a_{k}z^{k-1} \end{displaymath}<br /><br />Tenemos que <br /><br />\begin{displaymath} \|f'(z)\|^2=\left(\sum_{k=1}^{\infty}k a_{k}z^{k-1}\right)\left(\sum_{j=1}^{\infty} j\bar{a}_{j}\bar{z}^{j-1}\right)=\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty}k^2 \|a_{k}\|^2 (\|z\|^2)^{k-1}}_{S_{1}(z)}+ \underbrace{\sum_{\substack{k,j\\k\ne j}}kj a_{k}\bar{a}_{j}z^{k-1}\bar{z}^{j-1}}_{S_{2}(z)}\end{displaymath}<br /><br />Ahora bien, si reescribimos $S_{2}(z)$ tomando en cuenta que $\\z=re^{i\theta}$ con $r\in [0,1]$ y $\theta \in [-\pi,\pi]$, tendremos que<br /><br />\begin{displaymath}S_{2}(z)=\sum_{\substack{k,j\\k\ne j}}kj a_{k}\bar{a}_{j}z^{k-1}\bar{z}^{j-1}=\sum_{\substack{k,j\\k\ne j}}kj a_{k}\bar{a}_{j}r^{j+k}e^{i\theta(k-j)}\end{displaymath}<br /><br />Con lo cual, recibimos que<br /><br /> \begin{displaymath}\int \int_{\mathbb{D}}S_{2}(z)dA=\int_{-\pi}^{\pi}\int_{0}^{1}\sum_{\substack{k,j\\k\ne j}}kj a_{k}\bar{a}_{j}r^{j+k}e^{i\theta(k-j)}rdrd\theta=\sum_{\substack{k,j\\k\ne j}}kj a_{k}\bar{a}_{j}\frac{1}{j+k+2}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\theta(k-j)}d\theta\end{displaymath}<br /><br />Cuya última integral no es más que la condición de ortogonalidad para la base del desarrollo de Fourier en su forma compleja y, como es el caso, es nula para $j\ne k$.<br />$ $TEX: <br />Así,<br /><br />\begin{displaymath} A=\int \int_{\mathbb{D}} \|f'(z)\|^{2}dxdy=\int \int_{\mathbb{D}} S_{1}(z)dA =\int_{-\pi}^{\pi}\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}k^2\|a_{k}\|^2 r^{2(k-1)}rdrd\theta\end{displaymath}<br />\begin{displaymath}=\sum_{k=1}^{\infty}k^2\|a_{k}\|^2\int_{-\pi}^{\pi}\int_{0}^{1}r^{2k-1}dr d\theta<br />=\pi \sum_{k=1}^{\infty}k\|a_{k}\|^2\end{displaymath}<br />$\\\\$<br />Con lo cuál, se obtiene lo pedido.<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2010, 07:53 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien ! PD: Edité tus posts para que queden todos como uno solo. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

« Posterior · Variable Compleja · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 06:09 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.