 I3 Variable Compleja, 2S 2010 |
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  Nov 15 2010, 08:17 PM
Publicado:
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \begin{center}MAT270I - Variable Compleja I\\<br />Interrogación 3 - Lunes 15 de Noviembre de 2010\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Encuentre tres series de Laurent alrededor de $z_0=-1$, indicando dónde es válida cada una, para la función<br />\[g(z)=\frac{7z-2}{z(z+1)(z-2)}.\]<br />\item\begin{enumerate}<br />\item Suponga que $f$ es una función entero y que no tiene una singularidad escencial en $\infty$. Pruebe que $f$ es un polinomio.<br />\item Pruebe que toda función meromorfa en $\widehat{\mathbb C}$ es racional (cuociente de dos polinomios).<br />\end{enumerate}<br />\item Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0$, con $a_n\ne 0$; definimos<br />\[q(z)=\overline{a_0}z^n+\ldots+\overline{a_{n-1}}+\overline{a_n},\quad y\]<br />\[f(z)=\overline{a_0}p(z)-a_nq(z).\]<br />Supongamos que $p$ tiene $k\ge 0$ ceros en $\{|z|<1\}$, y no tiene ceros en $\{|z|=1\}$. Pruebe o dé contraejemplo para las siguientes afirmaciones.<br />\begin{enumerate}<br />\item $q(z)=z^n\overline p\left(1/\overline z\right),\forall z\ne 0$.<br />\item $q$ tiene $n-k$ ceros en $\{|z|<1\}$.<br />\item $|p(z)|=|q(z)|$ para $|z|=1$.<br />\item Si $|a_0|>|a_n|$, entonces $f$ también tiene $k$ ceros en $|z|<1$, mientras que si $|a_0|<|a_n|$, entonces $f$ tiene $n-k$ ceros en $|z|<1$.<br />\item Si $|a_0|>|a_n|$ entonces $p$ tiene al menos un cero en $|z|>1$, mientras que si $|a_0|<|a_n|$, entonces $p$ tiene al menos un cero en $|z|<1$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />](./tex/ccef133d30e5a15b4c1285d29e4bf48e.png) --- Como dato freak, en el temario para esta I estaba el Teorema de los Residuos. -------------------- |
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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