Inducción Matemática Opciones

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PROBLEMA 8

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PROBLEMA 9

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PROBLEMA 10

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PROBLEMA 11

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PROBLEMA 12

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PROBLEMA 13

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PROBLEMA 14

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PROBLEMA 15 PROBLEMA 15 TORRE DE HANOI

La Torre de Hanoi

El problema consiste en lo siguiente: hay que mover una torre, compuesta de discos de diferentes tamaños, de una aguja a otra. Sólo hay dos reglas:
1) Las piezas se deben mover por separado.
2) Una pieza no puede estar debajo de una más grande que ella.

Lo que se busca saber es la cantidad mínima de pasos para trasladar la Torre Completa


Analicemos los primeros casos.
· Para n=1, es decir, con sólo una pieza.

La torre completa se mueve con un sólo movimiento.

· Para n=2.

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CONTINUACION

· Para n=3

la torre completa se mueve con siete movimientos.
Sin embargo, podemos hacer el siguiente análisis:


Llamemos p(n) a la cantidad mínima de pasos que se requiere para mover n piezas de la torre.
De esta manera podemos decir que

p(n)=p(n-1) +1 + p(n-1)

pues, para mover n piezas, primero se deben mover (n-1) piezas, luego la pieza sobrante y finalmente mover nuevamente las (n-1) piezas. Esto se ve claramente es el siguiente esquema.

Es decir, tenemos que la fórmula para calcular el mínimo de movimientos para una torre de n piezas es:

p(n)=2p(n-1)-1

De esta forma, es natural preguntarse ¿Qué fórmula cumple que:

. p(1) = 1
. p(2) = 3
. p(3) = 7
. y que además p(n) = 2p(n-1) + 1 ?

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