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OMA 2001- Segundo Nivel

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2010, 03:23 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{18° Olimpíada Matemática Argentina Certamen Nacional. 2001}$ $TEX: \textbf{Segundo Nivel}$ $TEX: \textbf{Problema 1:} Si $n$ es un número natural, denotamos $r(n)$ a la suma de los $n$ restos que se obtienen al dividir $n$ por 1, por 2,..., por $n$. Por ejemplo, $r(7)=0+1+1+3+2+1+0=8$. Hallar un número $n$ mayor que 1.000.000 tal que $r(n)=r(n+1)$.$ $TEX: \textbf{Problema 2:} En el triángulo $ABC$, que tiene $BAC=63°$, se trazó la bisectriz del ángulo $BAC$. Sea $l$ la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a esta bisectriz. Si la recta $l$ corta a la recta $BC$ en $P$ de modo tal que $BP=AC+AB$, hallar las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$. Dar todas las posibilidades.$ $TEX: \textbf{Problema 3:} Carlos coloreó cada casilla de un tablero de 100 x 100 con uno de cuatro colores de modo que haya exactamente 25 casillas de cada color en cada fila y en cada columna. Demostrar que en el tablero hay dos filas y dos columnas tales que las cuatro casillas de las intersecciones de esas filas y columnas son una de cada color.$ $TEX: \textbf{Problema 4:}Lucas eligió un número natural $n$ de dos dígitos, calculó $10^n-n$ y luego sumó los dígitos del número calculado. La suma que obtuvo es un múltiplo de 170. Determinar todos los posibles valores del número $n$ de dos dígitos que eligió Lucas.$ $TEX: \textbf{Problema 5:} Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados no paralelos $BC$ y $DA$, tal que $BAD=ADC=90°$, $AB=54$ y $CD=24$. Se sabe además que la bisectriz del ángulo $ABC$ corta a la bisectriz del ángulo $BCD$ en un punto $P$ del lado $DA$. Calcular las medidas de los lados $BC$ y $DA$.$ $TEX: \textbf{Problema 6:} Hay varias monedas de 10 centavos sobre una mesa (no se sabe cuántas). Las monedas pueden tocarse entre si, pero no superponerse. Nicolás debe colorear las monedas de modo que si dos monedas se tocan sus colores sean diferentes. Determinar el menor número de colores que necesita tener Nicolás para hacer correctamente la coloración, si aun no ha visto cuántas monedas hay ni cómo están ubicadas.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Ditox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2010, 03:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.039 Registrado: 4-October 09 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 59.794 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En el P6 me huele teorema de los 4 colores --------------------

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2010, 08:08 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Ditox @ Nov 2 2010, 04:37 PM) En el P6 me huele teorema de los 4 colores A mi juzgar, seria usar un teorema de complicada demostracion para un problema olimpico, como por ejemplo usar el ultimo teorema de fermat en un problema de NT, conosco una solucion que no usa expesamente el teorema, pero claro cada idea puede aportar una solucion nueva . -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2014, 06:07 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion P4: Notemos que los multiplos de $TEX: $170$$ pueden ser $TEX: $\{170,340,510,680,850\}$$ , pues el mayor $TEX: $n$$ que se puede tomar es $TEX: $99$$ , y esto es: $TEX: $10^{99}-99$$ lo que es igual a $TEX: $99...901$$ con 97 9's en su expansion, es decir el mayor numero es $TEX: $97 \cdot 9 +1=874$$ , de esto se sigue que si tenemos un numero de la forma $TEX: $10^k - k$$ , (con $TEX: $k \in Z^+$$ y de 2 digitos) la cantidad de 9's que tendra dicho numero sera $TEX: $k-2$$ , ademas es claro que si $TEX: $k$$ es de la forma $TEX: $10t+1$$ con $TEX: $t \in \{1,2,...,9\}$$ la cantidad de 9's sera $TEX: $t-1$$ , ergo estos numeros no cumplen con la propiedad del enunciado Ahora analizando los multiplos de 170 tenemos: $TEX: $170 = 9 \cdot 18 + 8$$ $TEX: $340 = 9 \cdot 37 + 7$$ $TEX: $510 = 9 \cdot 56 + 6$$ $TEX: $680 = 9 \cdot 75 + 5$$ $TEX: $850 = 9 \cdot 94 + 4$$ Entonces por el hecho mencionado anteriormente, tomamos $TEX: $n-2 = 18,37,56,75,94$$ y probamos los casos: $TEX: $n=20 \Rightarrow 10^{20}-20=99...980=18 \cdot 9 +8=170$$ $TEX: $n=39 \Rightarrow 10^{39}-39=99...961=37 \cdot 9 +7=340$$ $TEX: $n=58 \Rightarrow 10^{58}-58=99...942=56 \cdot 9 +6=510$$ $TEX: $n=77 \Rightarrow 10^{77}-77=99...923=75 \cdot 9 +5=680$$ $TEX: $n=92 \Rightarrow 10^{96}-96=99...904=97 \cdot 9 +4=850$$ $TEX: $\therefore$$ Los posibles valores que puede tomar $TEX: $n$$ son, $TEX: $20,39,58,77,92$$ Ojala este bien..

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2017, 02:03 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P5 $TEX: Sean $\angle{ABP}=\alpha$ y $\angle{DCP}=\beta$. Es claro que $\alpha + \beta=\frac{\pi}{2}$, por tanto el $\triangle{BPC}$ es rectángulo en $P$. Trazando $PP'$ tal que $PP'\parallel AB \parallel CD$, vemos que $P'C=BP'$, luego por el paralelismo sigue que $AP=PD$, además como $\angle{ABP}=\angle{CPD}=\alpha$ y $\angle{APB}=\angle{DCP}=\beta$, luego $\frac{24}{PD}=\frac{AP}{54}\Rightarrow AP^2 = 54\cdot 24\Rightarrow AP=36\Rightarrow AD=72$. Con esto último, podemos proyectar $C$ sobre $AB$ (en $C'$) de donde resulta que $CC'=72$ y $BC'=54-24=30$, luego $BC^2=30^2+72^2=6^2(5^2 + 12^2)\Rightarrow BC=6\cdot 13=78$ $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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