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 Nov 7 2013, 10:19 PM
Publicado:
#11
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 Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 11-July 12 Desde: tco Miembro Nº: 108.845 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Sexo:   |
CITA(Ditox @ Dec 24 2010, 05:53 PM)  Hare el del gráfico, pero dejaré al lector el trabajo algebraico. La función es ![TEX: \[f(x)=\frac{x}{(x+1)^2}\]](./tex/6ced74ec2b8e39ae3122d39e895cc840.png) , notemos que su dominio es ![TEX: \[\mathbb{R}-\left \{ -1 \right \}\]](./tex/d42c67bb673421363afb888b3237a66e.png) , luego tiene una asintota vertical de ecuación x=-1 , además es fácil ver que su única raíz es en x=0 , y además f(0)=0 por tanto pasa por el origen.Si calculamos alguna asintota horizontal vemos que ![TEX: \[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{(x+1)^2}=0\]](./tex/d15c4a2c618275022adf6d6d3f7929a6.png) , por tanto se concluye que la funcion es asintotica al eje de las abscisas.Ahora notemos que ![TEX: \[f'(x)=\frac{1-x}{(x+1)^3}\]](./tex/c5115fcf8751903fababfc0f87e4c732.png) , por tanto los posibles candidatos a puntos críticos son1 y -1Si vemos tambien que ![TEX: \[f''(x)=\frac{2(x-2)}{(x+1)^4}\]](./tex/206db8ace139778938ae18c3b479aa2b.png) notamos que los puntos de Inflexion son en 2 y en -1En resumen: Puntos críticos: -1 y 1 Puntos de inflexión: 2 Con esto ya podmeos estudiar el crecimiento viendo f`(x) ![TEX: \[x\in (-\infty ,-1)\]](./tex/636724914088c476739fbd6ea133947a.png) Decrece (desde 0 hasta -inf)![TEX: \[x\in (-1 , 1)\]](./tex/2a5a67aea0fa2db7294e4a8c73348653.png) Crece(desde -inf hasta f(1)![TEX: \[x\in (1,+\infty )\]](./tex/ccba45802d588f0886f3331f0d1c3647.png) Decrece (desde f(1) hasta 0)Por tanto tiene un MAXIMO Relativo en (1,f(1)) = (1,1/4) Mínimo absoluto en (-1 ,-inf) Tambien podemos ver la concavidad de f con f''(x) ![TEX: \[f''(x)=\frac{2(x-2)}{(x+1)^4}> 0\: \Rightarrow x-2> 0\: \Leftrightarrow x> 2\]](./tex/cd118e1c921940de8433bcd8994a9235.png) Luego Si: ![TEX: \[x\in (-\infty ,2)\]](./tex/251e104f56f82d96efef38e0687591ea.png) Concava hacia abajo![TEX: \[x\in (2,+\infty)\]](./tex/528cfea7fa11b820d35b77be4a901638.png) Concava hacia arribaFinalmente el gráfico de la susodicha es: Sé que el tema es un poco viejo, cuando dice que x=-1 es un punto crítico, sin embargo -1 no pertenece al Dominio de f(x), ¿Entonces, no puede ser considerado como un mínimo, en este caso solamente existiría un máximo relativo en (1, f(1))? |
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