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Serie con seno.

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2010, 06:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Encuentre el valor de: $TEX: $$\sum_{n=0}^\infty 3^{-n}\sin(n)$$$ -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 11:19 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Si puedes usar variable compleja, lo natural es que trates de hallar la parte imaginaria de<br />$$\sum_{n=0}^\infty 3^{-n}e^{in}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{e^i}{3}\right)^n$$<br />usando la conocida identidad:<br />$$\sum_{k=0}^n z^k=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}$$<br />Válida para $z\neq 1$<br />$ Mensaje modificado por José Augusto Molina Garay el Oct 29 2010, 11:21 AM -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 11:50 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: También se puede hacer sin recurrir a la variable compleja. De por sí, esta serie ya es convergente porque es absolutamente convergente y ya que $\|3^{-n}\operatorname{sen}(n)\|\leq 3^{-n}$ y se sabe que la serie cuyo término general es $3^{-n}$ es convergente (y converge a $1/(1-1/3)$). Lo mismo para la serie cuyo término general es$3^{-n}\operatorname{cos}(n)$ \\<br />Entonces podemos ya hablar de los números:<br />$$S=\sum_{n=0}^\infty3^{-n}\operatorname{sen}(n)=1+\frac 1 3 \sum_{n=0}^\infty3^{-{n}}\operatorname{sen}(n+1)$$<br />$$C=\sum_{n=0}^\infty3^{-n}\operatorname{cos}(n)=1+\frac 1 3 \sum_{n=0}^\infty3^{-{n}}\operatorname{cos}(n+1)$$<br /><br />$$S=1+\frac 1 3\sum_{n=0}^\infty3^{-{n}}(\operatorname{sen}(n)\cos(1)+\cos(n)\operatorname{sen}(1))$$<br />$$C=1+\frac 1 3\sum_{n=0}^\infty3^{-{n}}(\operatorname{cos}(n)\cos(1)-\operatorname{sen}(n)\operatorname{sen}(1))$$<br />Allí aparecen otra vez los límites buscados formando un sistema lineal:<br />$$S=1+\frac 1 3(S\cos(1)+C\operatorname{sen}(1))$$<br />$$C=1+\frac 1 3 (C\cos(1)-S\operatorname{sen}(1))$$<br />Que no es difícil de resolver.<br />$ -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 09:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ambas soluciones son correctas, la que conocia yo era la de variable compleja, y otra usando Transformada Z. Agradecido por el otro método. La respuesta final es: $TEX: $$S = \dfrac{3\sin(1)}{10-6\cos(1)}$$$ Edit: Pueden mover a resueltos. Mensaje modificado por Kura el Oct 29 2010, 09:37 PM -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 30 2010, 09:39 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Presento a continuación la solución usando transformada Z (que de hecho es muy instructivo cuando se usa ZT, por el hecho de que resolver estos tipos de problemas utiliza muchas propiedades de la ZT) Consideremos la función discreta: $TEX: $f[n] = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\sin[n]H[n]$$ Donde H[n] es la función escalón discreta. Es fácil calcular que la transformada Z de, es: $TEX: $$g[n] = \sin[n]H[n] \longrightarrow \frac{z^{-1}\sin(1)}{1-2z^{-1}\cos(1)+z^{-2}} = G(z)$$$ Por la propiedad del escalamiento: $TEX: $f[n] \longrightarrow G(3z)$$ Consideremos $TEX: $\displaystyle \varphi[n] = \sum_{k=0}^n 3^{-k}\sin[k] = \sum_{k=-\infty}^n f[k]$$ Por la propiedad de la suma de la ZT: $TEX: $\varphi[n] \longrightarrow \dfrac{1}{1-z^{-1}} G(3z) = \Phi(z)$$ Por el teorema del valor final: $TEX: \begin{align}\varphi[\infty] &= \sum_{k=0}^\infty 3^{-k}\sin[k] \\ &= \lim_{z\to 1} (1-z^{-1}) \Phi(z)\\ &= \lim_{z\to 1} (1-z^{-1}) \cdot \dfrac{1}{1-z^{-1}} G(3z) \\ &= G(3) \\ &= \dfrac{3\sin(1)}{10-6\cos(1)}\end{align}$ -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

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