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Integral, De mi ramo de señales.

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Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2010, 10:58 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estaba haciendo problemas de análisis de señales y me encontre con esta integral, y me gustaría ver si existirán otras formas de resolverla. $TEX: Calcule la siguiente integral para todo $n$, suponiendo que $a>1$ $$\int_0^{2\pi} \frac{e^{i(n-1)\xi}}{1-a^{-1}e^{-i\xi}}d\xi$$$ En mi ramo se da el siguiente hint que sin duda ayuda mucho a resolverla. Considere la Transformada Z inversa: $TEX: $ \displaystyle f[n] = \dfrac{1}{i2\pi}\oint F(z)z^{n-1}dz$$ Edit: $TEX: $n\in \mathbb{Z}$$ Mensaje modificado por Kura el Oct 27 2010, 11:01 PM -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 12:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Con $a>1$ <br />La integral<br />$$\int_0^{2\pi} \frac{e^{i(n-1)\xi}}{1-a^{-1}e^{-i\xi}}d\xi =\int_0^{2\pi} \frac{e^{i(n-1)\xi}}{e^{i\xi}-a^{-1}}e^{i\xi}d\xi$$<br />se puede ver como la integral compleja<br />$$\frac 1 i \int_C\frac{z^{n-1}}{z-1/a}dz$$<br />Donde $C$ es la circunferencia unitaria en el sentido antihorario. Como $a>1$, $1/a$ se encuentra dentro de la circunferencia unitaria, entonces la función dada es la famosa fórmula de Cauchy de la función $f$ definida por $z\mapsto z^{n-1}$ alrededor del punto $1/a$ (salvo la constante $\dfrac{1}{2\pi}$). Es decir:<br />$$f(1/a)=(1/a)^{n-1}=\frac {1 }{2\pi i }\int_C\frac{z^{n-1}}{z-1/a}dz$$<br />$ -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 09:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El resultado es correcto, pero falta especificar para que valores de n ese resultado es válido. -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2010, 09:57 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />Bueno, $z^{n-1}$ debe ser una función analítica dentro de la circunferencia para que se pueda usar la fórmula de Cauchy, así que $n$ es un entero tal que $n-1\geq 0$.\\<br />Aunque la integral<br />$$\int_0^{2\pi} \frac{e^{i(n-1)\xi}}{1-a^{-1}e^{-i\xi}}d\xi =\int_0^{2\pi} \frac{e^{in\xi}}{1-a^{-1}e^{-i\xi}}e^{-i\xi}d\xi$$<br />también se puede ver como la integral compleja<br />$$-i \int_{C}\frac{z^{-n}}{1-a^{-1}z}dz=\frac a i \int_{C}\frac{z^{-n}}{z-a}dz$$<br />La cual es nula si $n\leq 0$ ya que $\dfrac{1}{z-a}$ es analítica pues $a>1$ con lo cual ya tenemos todos los casos.\\<br /><br />Pero podemos obtener todas las soluciones de forma unificada:\\<br />Tenemos que si $\|z/a\|=1/a<1$, entonces se tiene el siguiente resultado:<br />$$\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{z}{a}\right)^k=\frac{1}{1-z/a}$$<br />y esta convergencia es uniforme ya que estamos en un compacto dentro de la región de convergencia de $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty z^k$, luego podemos integrar término a término.\\<br />$$- i \int_{C}\frac{z^{-n}}{1-z/a}dz=- i \int_{C}z^{-n}\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{z}{a}\right)^kdz<br />=- i \sum_{i=0}^\infty\int_{C}z^{-n}\left(\frac{z}{a}\right)^kdz$$<br />$$\qquad=- i a^{-n}\sum_{i=0}^\infty\int_{C}\left(\frac{z}{a}\right)^{k-n}dz=\begin{cases}<br />- i a^{-(n-1)}\displaystyle\int_{C}\frac{dz}{z},\quad\hbox{$n\geq 1$}\\<br />0,\quad\hbox{si $n\leq 0$}<br />\end{cases}<br />=\begin{cases}<br />2\pi (1/a)^{(n-1)},\quad\hbox{$n\geq 1$}\\<br />0,\quad\hbox{si $n\leq 0$}<br />\end{cases}<br />$$ <br />En el fondo estoy evocando un poco la teoría de residuos con lo cual se podría ver el resultado directamente. Saludos.<br />$ Mensaje modificado por José Augusto Molina Garay el Oct 30 2010, 08:30 AM -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 30 2010, 12:54 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora sí. Respuesta completa! A resueltos!! -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

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