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Evaluacion Nº 3, Duracion: 2 horas

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2007, 04:56 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Aqui les va la ultima Evaluacion. Aca van 14 problemas selectos, donde los alumnos debian desarrollar solo 6 de ellos(a su eleccion). A deleitarse con eswta ultima evaluacion Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Evaluaci_n_N__3.doc ( 164k ) Número de descargas: 376 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2007, 08:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Ahora que tengo mas tiempo voy a postear soluciones$ $TEX: \noindent Problema 8$ $TEX: \noindent Para demostrar esto, nos basta probar que el angulo D'B'D = ACD, y para probarlo nos basamos en 2 ciclicos, el ADB'B (que es ciclico por los angulos rectos opuestos), y el ADCB (que lo es por estar inscrito en una circunferencia). Entonces, como ADB'B es ciclico, si trazamos la diagonal DB, tendremos que el angulo D'B'D se traslada al angulo ABD. Luego Como ABCD es ciclico, el angulo ABD se traslada al angulo ACD, lo que concluye nuestra demostracion$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img215.imageshack.us/img215/4075/evaluacion3p8zp3.jpg');}" /> -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2007, 08:42 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Problema 3$ $TEX: \noindent Trazamos la recta BE de longitud igual al lado del cuadrado ABCD, y trazamos la diagonal AE, con esto tenemos que el angulo BEA = angulo EAB = angulo BCA = angulo BAC = 45. Con esto podemos saber cuanto mide el angulo AMC, ya que conocemos cuanto valen los otros tres angulos del cuadrilatero AMCE. Con la medida del angulo AMC = 135 y el angulo BEA = 45, vemos que su suma = 180, por lo que AMCE es ciclico, y como es ciclico, angulo ECA = angulo EMA = 45, pero angulo AMC = 135, luego angulo EMC = 90. Tenemos el angulo rectangulo CEM, y tenemos una linea que desde el angulo recto corta en el pto medio a la hipotenusa, por lo tanto BM = BC, entonces el triangulo CBM es isoceles y el angulo CBM = 40. Por lo tanto angulo ABM = 50$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img201.imageshack.us/img201/4800/evaluacion3p3lk3.jpg');}" /> -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2007, 05:27 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 14$ $TEX: Primero hay que darse cuenta que el $\angle ACE=69$ (por la suma de angulos interiores opuestos), luego, por que $\overline {BC} y \overline {DK}$ son paralelas tenemos que el $\angle CKD$ es 69 (alternos internos con $\angle ACD$), pero por construccion $\angle ACD$ es 69, luego $\overline {CA}$ es bisectriz exterior del $\triangle DBC$ en el vertice C. Asi mismo, como $\angle KDC$ es 42, $\overline {DK}$ tambien es bisectriz exterior del $\triangle DBC$, por lo que $\overline {BK}$ es bisectriz interna. Con lo que se concluye que $\angle CBK=\angle ABK = 21$$ Mensaje modificado por GlagosSA el Jan 19 2007, 05:31 PM Archivo(s) Adjunto(s) Evaluacion3p14.JPG ( 7.31k ) Número de descargas: 3 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2007, 05:52 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 13$ $TEX: Primero hay que ver los triangulos isoceles presentes, a saber, $\triangle PAD$, $\triangle PAE$, ambos porque E y D son reflejos de P respecto a $\overline {AB}$ y $\overline {AC}$, respectivamente. Lo mismo sera para los triangulos $\triangle ENP$ y $\triangle PMD$. Por los primeros isoceles, tenemos que $\overline {EA}=\overline{AP}=\overline{AD}$, por lo que $\triangle ADE$ es isoceles. Ya, juguemos con los angulos, sabemos que $\angle APE=\angle AEP$, pero $\angle AEP = \angle AED + \angle DEP$ y como $\triangle ENP$ es isoceles, $\angle AED =\angle APN$. Para el $\angle APM$, el procedimiento es analogo, gracias a que $\angle AED =\angle ADE$$ Archivo(s) Adjunto(s) Evaluacion3p13.JPG ( 14.75k ) Número de descargas: 0 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2007, 11:25 PM Publicado: #6
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 1 screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img403.imageshack.us/img403/8456/cuadradoes8.png');}" /> $TEX: \noindent Notemos que $\angle{DFA}=67,5=\angle{DGF}$ (simplemente por suma de \'angulos interiores en los $\triangle{ADF}$ y $\triangle{DFG}$). Luego $\triangle{DGF}$ es is\'osceles en $D$, o sea $DG=DF$. Sea $EM//GF$, por teorema de Thales se tiene que $FM=24$ (ya que DG=DF). Como $AF//EM$, y $E$ es punto medio de $AC$ (intersecci\'on de diagonales), se sigue que $EM$ es paralela media en el $\triangle{AFC}$, luego $M$ es punto medio de $FC$.\\<br /><br />\noindent Finalmente $FC=2FM=48\ \blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

ViTokKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2007, 03:19 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 10-January 07 Miembro Nº: 3.697 Nacionalidad: Sexo:	tuvo entretenida esa evaluacion xDD eran tantos problemas y al final ... xD tan pocos resueltos wuajaa --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2007, 08:57 PM Publicado: #8
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 12: $TEX: \noindent Sea $x=\angle{BCA}, y=\angle{DCF}, z=\angle{ACD}$. Probaremos que $x=y$. Como $ABCD$ es paralel\'ogramo, se tiene que $\angle{BCA}=\angle{DAC}=x$ y que $\angle{ACD}=\angle{BAC}=z$; por c\'iclico $AEOB$, $\angle{EAO}=\angle{EBO}=x$, y $\angle{BAO}=\angle{BEO}=z$. Por lo tanto tenemos que el \'angulo exterior $\angle{EOD}$ vale $x+z$, y por c\'iclico $EDOF$, $\angle{EOD}=\angle{EFD}=x+z$. As\'i tenemos que $\angle{DCB}=\angle{EFD}=x+z$, lo que implica que $FDCB$ es c\'iclico, por lo tanto $\angle{FBD}=\angle{FCD}$, o sea $x=y$, probando as\'i lo pedido $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2007, 10:12 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Segunda solución al problema 1: $TEX: \noindent Sea $a=AD=AB=BC=CD$. Por teorema de Pit\'agoras, obtenemos\\ $$AE=EC=EB=DE=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$\\<br />Por teorema de la bisectriz interior al $\triangle{ADE}$:\\<br />$$\dfrac{AD}{DG}=\dfrac{AE}{GE}\Rightarrow\dfrac{a}{DG}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{24}\Rightarrow 24a=\dfrac{DG\cdot a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow DG=\dfrac{48}{\sqrt{2}}$$ Como $AD\perp DC$ y $BD\perp AC$, notemos que $\angle{AFD}=90-\alpha=\angle{AGE}=\angle{DGF}\Rightarrow DG=DF$. Por teorema de la bisectriz al $\triangle{ADC}$:\\<br />$$\dfrac{a}{DF}=\dfrac{a\sqrt{2}}{CF}\Rightarrow \dfrac{a}{\dfrac{48}{\sqrt{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{FC}\Rightarrow FC\cdot a=a\cdot 48\Rightarrow \boxed{FC=48}$$$ Saludos

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