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Tarea 2. Combinatoria

Cesarator	Jan 14 2007, 09:58 PM Publicado: #1
Invitado	Aca va tarea 2 para los regalones. Untitled.jpg ( 106.82k ) Número de descargas: 12 ... con error de tipeo incluido en el P6. Debe decir 2213833 en lugar de 1213833 Mensaje modificado por Cesarator el Jan 14 2007, 09:59 PM

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2007, 11:38 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 5 $TEX: \noindent Sean:<br /><br />$$\mathcal{S}_1=a_1$$<br />$$\mathcal{S}_2=a_1+a_2$$<br />$$\mathcal{S}_3=a_1+a_2+a_3$$<br />$$\ldots$$<br />$$\mathcal{S}_{666}=a_1+a_2+\ldots+a_{666}$$<br /><br />\noindent Si se tienen estas $666$ sumas con distinto resto m\'odulo $666$ se tendr\'a lo pedido (existir\'a un $\mathcal{S}_{j}\equiv{0}(mod.\ 666)$)\\<br /><br />\noindent En el caso contrario, supongamos que no existe un $\mathcal{S}_{j}$ tal que $\mathcal{S}_{j}\equiv{0}(mod.\ 666)$, luego, por principio del palomar se tendr\'a que dos sumas, digamos $\mathcal{S}_{k}$ y $\mathcal{S}_{i}$, pertenecen a la misma clase de congruencia m\'odulo $666$ ($665$ clases para $666$ sumas). Sin perder generalidad, diremos $k>i$. As\'i:<br /><br />$$\mathcal{S}_{k}=a_1+a_2+\ldots+a_i+a_{i+1}+\ldots+a_k\equiv\alpha(mod.\ 666)$$<br />$$\mathcal{S}_{i}=a_1+a_2+\ldots+a_i\equiv\alpha(mod.\ 666)$$<br /><br />\noindent Luego $\mathcal{S}_{k}-\mathcal{S}_{i}=a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots+a_k\equiv{0}(mod.\ 666)$\\<br /><br />\noindent Probando lo pedido $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2007, 11:58 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 2 Primero, consideremos que las $TEX: $10$$ personas se sientan en fila. Para que dos mujeres no se sienten juntas debe haber un hombre entre cada dos mujeres. Debemos calcular de cuantas formas se puede hacer esto. Ahora, ordenaremos a los hombres y a las mujeres por separado: -Los $TEX: $5$$ hombres pueden ordenarse de $TEX: $5!$$ formas distintas. -Las $TEX: $5$$ mujeres pueden ordenarse de $TEX: $5!$$ formas distintas. Para lograr nuestro objetivo, debemos intercalar las mujeres entre los hombres e intercalar los hombres entre las mujeres (las dos formas son distintas, ya que primero tomamos a los hombres y les intercalamos mujeres, y luego tomamos primero a las mujeres y les colocamos hombres intercalados). Lo primero se puede hacer de $TEX: $5!\cdot{5!}$$ formas distintas (por cada una de las permutaciones de hombres, podemos intercalar las $TEX: $5!$$ permutaciones distintas de mujeres), y lo segundo, razonando análogamente, de $TEX: $5!\cdot{5!}$$ formas distintas. O sea, si sentamos a las $TEX: $10$$ personas en fila, tendremos $TEX: $(5!)^2\cdot{2}$$ formas distintas de hacerlo, con las condiciones del problema. Pero como están sentados en una mesa redonda, la permutación $TEX: $H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5$$ es la misma que $TEX: $M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5H_1$$ , y en general, se puede rotar $TEX: $10$$ veces, y así con cada una de las formas distintas se tendrá que la respuesta es: $TEX: \noindent $\dfrac{5!5!2}{10}=2880\ \blacksquare$$ Nota: $TEX: $M_i, H_i$$ representan a la i-ésima mujer y hombre, respectivamente. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

chichimeco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2007, 03:40 AM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 137 Registrado: 6-May 06 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 1.040 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Para el problema 2, otra soluci\'{o}n puede ser el sentar primero las mujeres a la mesa redonda, lo que se hace de $4!$ maneras, y luego intercalarles hombres (de $5!$ maneras). Notar que el hecho de haber sentado a las mujeres primero rompe la simetr\'{i}a, y es por eso que uno puede intercalar hombres de $5!$ maneras. El resultado es el mismo que el de Killua.$ Saludos -------------------- "De atrás pica el indio." - Dicho popular chileno. "Dans les champs de l'observation le hasard ne favorise que les esprits préparés." - Louis Pasteur "The purpose of computing is insight, not numbers." - R.W. Hamming

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2007, 11:09 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 6 El enunciado se puede interpretar así: "Encuentre el número de soluciones enteras de la ecuación $TEX: $x_0+x_1+x_2+\ldots+x_9=7, 0\le{x_i}\le{7}$$ " donde cada $TEX: $x_i$$ corresponde a la cantidad de dígitos $TEX: $i$$ que se usan para formar el número de siete cifras. Luego, cada solución de la ecuación nos entrega un subconjunto, ya que no importa el orden de las cifras. Lema: el número de soluciones enteras positivas de la ecuación $TEX: $x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n=m, x_i\ge{1}$$ viene dado por $TEX: $\displaystyle\binom{m-1}{n-1}$$ Demostración del lema: Este problema puede interpretarse como: ¿de cuántas maneras se puede separar $TEX: $m$$ objetos en $TEX: $n$$ grupos disjuntos no vacíos? Considere los $TEX: $m$$ objetos en fila. Como tenemos que elegir $TEX: $n$$ grupos, tenemos que separarlos usando $TEX: $n-1$$ trabas. Tenemos $TEX: $m-1$$ posibilidades de trabas (entre cada objeto adyacente). Luego, tenemos que elegir $TEX: $n-1$$ trabas entre $TEX: $m-1$$ posibilidades de trabas, o sea $TEX: $\displaystyle\binom{m-1}{n-1}$$ , probando así el lema. Volvamos al problema. Tenemos que encontrar el número de soluciones de la ecuación $TEX: $x_0+x_1+x_2+\ldots+x_9=7$$ , pero como algún o algunos $TEX: $x_i$$ pueden valer cero, hacemos el cambio de variable $TEX: $y_i=x_i+1$$ . Nos quedan entonces todos los $TEX: $y_i\ge{1}$$ . Luego $TEX: $y_0+y_1+y_2+\ldots+y_9=17, y_i\ge{1}$$ Entonces, por nuestro lema, se tiene que el número de soluciones de esta ecuación es $TEX: $C(16;9)$$ ; pero aquí estamos contando el caso en que $TEX: $x_1=x_2=x_3=\ldots=x_9=0$$ , y $TEX: $x_0=7$$ , pero un número con siete ceros no es un número de siete cifras. Descartando este caso, tendremos que el número de subconjuntos que se puede formar es: $TEX: $\displaystyle\binom{16}{9}-1=11439\ \blacksquare$$ Nota: en muchas ocasiones sólo escribí "número de soluciones", pero se refiere siempre a "número de soluciones enteras" Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

locusamoris Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2007, 07:00 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 112 Registrado: 2-June 07 Miembro Nº: 6.357	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Soluci\'on problema 1}} \hfill \\<br /> {\text{Dos torres se atacan cuando se encuentran en la misma fila o columna}} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: Para ubicar la primera torre hay 64 posibilidades, la segunda entonces no se podra colocar ni en la fila ni en la columna de la primera, o sea, tiene 49 posibles ubicaciones. Tercera...36; cuarta...25; quinta...16; sexta...9 y septima...4 y se divide por el total de permutaciones, pues son identicas$ $TEX: \[<br />\frac{{64 \cdot 49 \cdot 36 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 9 \cdot 4}}<br />{{7!}}<br />\]$ -------------------- < romero jazmin flor de naranjo >

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2007, 09:15 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $\fbox{Soluci\'on problema 4}$$ $TEX: Como se debe dejar una ficha que sea adyacente a al menos una de su mismo color, y para no tener problemas al ordenar las fichas en una fila de forma que se contradiga el enunciado, se deben formar grupos de 2 y 3 fichas con las 5 fichas de cada color(como no se hace distinci\'on entre las fichas, no interesa como se formen y ordenen, el par o el tr\'io de fichas), de esta forma se asegura la condici\'on requerida. Ahora no queda m\'as que permutar estos 6 grupos, concluyendo que existen 6! formas de ordenar las 15 fichas, o sea 720 formas.$ Saludos! -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

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