Schwarz generalizado - Foro fmat.cl

Schwarz generalizado, De por allí...

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2010, 09:20 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $f:B(0,R)\to\mathbb C$, con $R>0$ analítica. Suponga que $\exists M>0$ tal que $\|f(z)\|\le M,\forall \|z\|<R$ y $n\in\mathbb N$ tal que <br />\[0=f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(n)}(0).\]<br />Muestre que <br />\[\|f(z)\|\le M\left(\frac{\|z\|}{R}\right)^{n+1},\quad \forall \|z\|<R\]<br />con igualdad si y sólo si $\exists \alpha\in\mathbb C$ con $\|\alpha\|=1$ tal que <br />\[f(z)=\alpha M\left(\frac{z}{R}\right)^{n+1},\quad\forall \|z\|<R.\]<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 01:57 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent Como $f$ es analítica tiene una expansión en serie como<br />$$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k$$<br />valida en el disco $D(0,R)$,\\<br />ademas como la función y sus n-derivadas son cero en cero<br />$$c_0=c_1= \dots =c_n=0$$<br />por lo que<br />$$f(z)=\sum_{k=n+1}^{\infty} c_k z^k=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k+n+1} z^{k+n+1}=z^{n+1}\sum_{k=0}^{\infty} c_{k+n+1} z^k$$<br />$$\|f(z)\|=\|z\|^{n+1} \left \| \sum_{k=0}^{\infty} c_{k+n+1} z^k \right \|\leq<br />\|z\|^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} \|c_{k+n+1}\| \|z^k\| $$<br />teniendo en cuenta la desigualdad de Cauchy<br />$$\|c_{k+n+1}\| \leq \frac{M}{R^{k+n+1}} \ \ \forall z \in D(0,R)$$<br />$$\|f(z)\|\leq<br />\|z\|^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{M \|z^k\|}{R^k R^{n+1}}=\frac{M \|z\|^{n+1}}{R^{n+1}} \sum_{k=0}^{\infty} \|\frac{z}{R}\|^k\leq\frac{M \|z\|^{n+1}}{R^{n+1}} \ \ \forall z \in D(0,R)$$<br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Jan 20 2011, 02:49 AM

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 02:14 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent Para la segunda parte notemos que la funcion <br />$$g(z)=\frac{R^{n+1}f(z)}{M z^n}$$ es analítica y $g(0)=0$ (sale directo de la expansion en serie de f) y por la desigualdad recién demostrada $g(z) \leq 1$ en el disco $D(0,R)$.<br />\\Supongamos que se tiene la igualdad, entonces<br />$$\|g(z)\|=\|z\|$$<br />por lo tanto el Lema de Schwarz nos permite concluir.\\<br />la otra implicancia es trivial<br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Jan 20 2011, 02:50 AM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 06:59 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me parece bien. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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