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Tarea Nº 3, Semejanza de Triangulos

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2007, 06:03 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, aca deberia ir la Tarea de "Semejanza de Triangulos" Y lo prometido es deuda Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Tarea_N_3_Primera_Parte.doc ( 55k ) Número de descargas: 180 Tarea_N_3_Segunda_Parte.doc ( 27k ) Número de descargas: 132 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 21 2007, 10:02 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P1$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img100.imageshack.us/img100/9922/para7ym.jpg');}" /> $TEX: devemos comprobar esto:<br /><br />\[<br />\frac{1}{{\overline {BE} }}{\rm + }\frac{1}{{\overline {DF} }}{\rm = }\frac{1}{{\overline {AC} }}<br />\]<br />$ $TEX: o de otra manera:<br /><br />\[<br />\frac{{AC}}{{\overline {BE} }}{\rm + }\frac{{AC}}{{\overline {DF} }}{\rm = }1<br />\]<br />$ $TEX: Tenemos que :<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> BAC \sim BFD \\ <br /> EBD \sim ACD \\ <br /> AFD \sim ABE \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: Por lo tanto las relaciones:<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> \dfrac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}{\rm = }\overline {\dfrac{{BD}}{{\overline {FD} }}} {\rm }\dfrac{{\overline {BC} }}{{\overline {BD} }}{\rm = }\dfrac{{\overline {AC} }}{{\overline {DF} }} \\ <br /> \\ <br /> \dfrac{{\overline {CD} }}{{\overline {AC} }}{\rm = }\dfrac{{\overline {BD} }}{{\overline {BF} }}{\rm }\dfrac{{\overline {CD} }}{{\overline {BD} }}{\rm = }\dfrac{{\overline {AC} }}{{\overline {BE} }} \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: sumamos las igualdades<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {BD} }}{\rm + }\frac{{\overline {CD} }}{{\overline {BD} }}{\rm = }\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {DF} }}{\rm + }\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {BE} }}<br />\]<br />$ $TEX: -<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {BC} {\rm + }\overline {CD} }}{{\overline {BD} }}{\rm = }\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {DF} }}{\rm + }\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {BE} }}<br />\]<br /><br />$ $TEX: si nos damos cuenta, mirando la figura notaremos que <br />\[<br />\overline {BC} {\rm + }\overline {CD} {\rm = }\overline {BD} <br />\]<br />entonces: <br />\[<br />\frac{{AC}}{{\overline {BE} }}{\rm + }\frac{{AC}}{{\overline {DF} }}{\rm = }1<br />\]<br />$

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 09:59 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 3$ $TEX: a) $\angle CDB = \alpha$, $\angle CBD=\beta$, $\overline{AO}$ simetral de $\overline{CB}$. Es facil ver que como $\alpha+\beta=90$, $\angle DCE=\angle OAB=\beta$, y que $\angle BCE=\angle AOB=\alpha$. Ya tenemos hartas semejanzas, entre ellas $\triangle CEB$ y $\triangle OBA$, con esta tenemos que \\<br />$\dfrac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{OB}}$ \\<br />\\ <br />De donde sale que: \\<br />$\overline{BE}\cdot \overline{OB}=\overline{AB}\cdot \overline{CE}$$ $TEX: b) Partamos con que $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{ED}}$. Amplificamos por $\overline{BE}$ el segundo miembro quedando:\\<br />\\<br />$\dfrac{\overline{BE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE^2}}{\overline{ED}\cdot \overline{BE}}$\\<br />Pero por euclides sabemos que $\overline{CE^2}=\overline{ED}\cdot \overline{BE}$, segun $\triangle BCD$. Entonces tenemos que:\\<br />$\dfrac{\overline{BE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE^2}}{\overline{CE^2}}$\\<br />\\<br />$\dfrac{\sqrt{\overline{BE}}}{\sqrt{\overline{ED}}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{CE}}$, multiplicamos por $\overline{BO}$\\<br />\\<br />\\<br />$\dfrac{\sqrt{\overline{BE}}}{\sqrt{\overline{ED}}}\cdot \overline{BO}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{CE}}\cdot \overline{OB}$, pero en a vimos que $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{CE}}\cdot \overline{OB}=\overline{AB}$\\<br />\\<br />$\dfrac{\sqrt{\overline{BE}}}{\sqrt{\overline{ED}}}\cdot \overline{BO}=\overline{AB}$\\<br />\\<br />$\dfrac{\overline{AB}}{\sqrt{\overline{BE}}}=\dfrac{\overline{BO}}{\sqrt{\overline{ED}}}$, demostrando lo pedido.<br />$ Mensaje modificado por GlagosSA el Jan 22 2007, 10:01 AM Archivo(s) Adjunto(s) Tarea3p3.JPG ( 12.49k ) Número de descargas: 0 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 10:39 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P2$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img181.imageshack.us/img181/739/fig45zb.jpg');}" /> $TEX: devemos comprobar lo siguiente:<br /><br />\[<br />\frac{1}{{\overline {AF} }}{\rm + }\frac{1}{{\overline {AE} }}{\rm = }\frac{1}{{\overline {AG} }}<br />\]<br />$ $TEX: o de otra manera<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {AG} }}{{\overline {AF} }}{\rm + }\frac{{\overline {AG} }}{{\overline {AE} }}{\rm = }1<br />\]<br />$ $TEX: tenemos que los triangulos:<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> CFE \sim BAE \\ <br /> DGA \sim BGE \\ <br /> DFG \sim BAG \\ <br /> DFA \sim BAE \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: por semejanza de los triangulos DFG y BAG<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {DF} }}{{\overline {AB} }}{\rm = }\frac{{\overline {FG} }}{{\overline {AG} }}{\rm = }\frac{{\overline {DG} }}{{\overline {BG} }}<br />\]<br />$ $TEX: por semejanza de los triangulos BAE y DFA<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {BA} }}{{\overline {DF} }}{\rm = }\frac{{\overline {AE} }}{{\overline {FA} }}{\rm = }\frac{{\overline {BE} }}{{\overline {DA} }}<br />\]<br />$ $TEX: por semejanza de los triangulos DGA y BGE<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {DG} }}{{\overline {BG} }}{\rm = }\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GE} }}{\rm = }\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {BE} }}<br />\]<br /><br />$ $TEX: entonces<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GE} }}{\rm = }\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {BE} }}{\rm }<br />\]<br />y<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA}* \overline {BE} }}{{\overline {GE} }}{\rm = }\overline {DA} <br />\]<br />por lo que<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {DF} }}{{\overline {AB} }}{\rm = }\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GE} }}<br />\]<br /><br />$ $TEX: Entonces<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {DF} }}{{\overline {AB} }}{\rm = }\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GE} }} <br />\]<br />y<br />\[<br />\frac{{\overline {AB} \overline {AF} }}{{\overline {AE} }}{\rm = }\overline {DF} {\rm }<br />\]<br />por lo que<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GE} }}{\rm = }\frac{{\overline {AF} }}{{\overline {AE} }}<br />\]<br />$ $TEX: Entonces<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {AF} }}{\rm = }\frac{{\overline {GE} }}{{\overline {AE} }}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {AF} }}-\frac{{\overline {GE} }}{{\overline {AE} }}{\rm = }0 <br />\]<br />$ $TEX: notemos que GE = AE-AG<br />Entonces<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {AF} }}-\frac{{\overline {AE} -{\rm }\overline {AG} }}{{\overline {AE} }}{\rm = }0{\rm }<br />\]<br />$ $TEX: Entoces<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {AF} }}-1\frac{{\overline {AG} }}{{\overline {AE} }}{\rm = }0<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {AF} }}{\rm + }\frac{{\overline {AG} }}{{\overline {AE} }}{\rm = 1 }<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{1}{{\overline {AF} }}{\rm + }\frac{1}{{\overline {AE} }}{\rm = }\frac{1}{{\overline {AG} }}<br />\]<br /><br />$ Mensaje modificado por Nilrem* el Jan 22 2007, 10:43 AM

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 12:06 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 4$ $TEX: Primero Construimos la recta L2, paralela a L1 y L3, con esto tenemos la semejanza $\triangle ABC \sim \triangle APS$, por lo que como $\overline{AD}$ dimidia a $\overline{BC}$, tambien dimidia a $\overline{PS}$, con lo que $\overline{PR}=\overline{PS}$, pero por construccion, MAPR es paralelogramo, entonces $\overline{MA}=\overline{PR}=\overline{RS}$ \\<br />Sabiendo esto nos fijamos en la semejanza $\triangle QPS \sim \triangle QMA$ y con esta:\\<br />\\<br />$\dfrac{\overline{QM}}{\overline{MA}}=\dfrac{\overline{QP}}{\overline{PS}}$, pero $\overline{PS}=2\overline{PR}=2\overline{MA}$\\<br />\\<br />\\<br />$\dfrac{\overline{QM}}{\overline{MA}}=\dfrac{\overline{QP}}{2\overline{QP}}$\\<br />\\<br />\\<br />$\overline{QM}=\dfrac{\overline{QP}}{2}$, con lo que se demuestra que M es punto medio de $\overline{PQ}$$ Mensaje modificado por GlagosSA el Jan 22 2007, 12:39 PM Archivo(s) Adjunto(s) Tarea3p4.JPG ( 12.7k ) Número de descargas: 0 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 01:08 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 5$ $TEX: Llenaremos algunos angulos con $\beta$, primero $\angle CAD$, pero $\triangle ACD$ es isoceles, entonces $\angle CDA=\beta$, pero ABCD es ciclico, luego $\angle CBA=\angle CBD=\beta$, y como $\angle AOC$ cubre el mismo arco que $\angle ABC$, $\angle AOC=2\beta$, pero $\angle DBA=2\beta$, por lo tanto DB y CO son paralelas, tenemos que:\\<br />$\dfrac{r}{\overline{OP}}=\dfrac{2r}{7}$, luego $\overline{OP}=\dfrac{7}{2}$, con lo que $\overline{CP}=r-\dfrac{7}{2}$\\<br />Como CO es paralela a BD, y AD es perpendicular a BD, $\angle APC=90$, dando lugar a la semejanza \\ $\triangle APC \sim \triangle BCA$ \\<br />Usandola: \\<br />\\<br />$\dfrac{r-\dfrac{7}{2}}{3}=\dfrac{3}{2r}$\\<br />\\<br />$2r^2-7r-9=0$, luego como r no puede ser negativo, tenemos que \\<br />\\<br />$r=\dfrac{7+11}{4}=4,5$$ PD: hay una solucion con Ptolomeo, pero esta era mas acorde a lo que pasamos en clase. saludos Archivo(s) Adjunto(s) Tarea3p5.JPG ( 12.28k ) Número de descargas: 0 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 01:40 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 7$ $TEX: $\angle PAQ=\alpha$, $\angle APQ=\beta$, $\alpha + \beta = 90$\\<br />Como $\overline{CB}$ es tangente, se tiene que $\angle PAB$ comprende el mismo arco que el $\angle PBS$, entonces $\angle PAB=\angle PBS=\alpha$\\<br />Vemos que el BSPQ es ciclico, por lo tanto $\angle SQP=\alpha$\\<br />$\angle RAP=\gamma$ y como $\triangle ABC$ es isoceles, $\angle PBQ=\gamma$, pero BSQP es ciclico, por lo que $\angle PSQ=\gamma$, del mismo modo, ARPQ tambien es ciclico, entonces $\angle RQP=\gamma$, luego tenemos una semejanza:\\<br />$\triangle RQP \sim \triangle RQP$ y segun esta:\\<br />\\<br />$\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=\dfrac{\overline{PS}}{\overline{PQ}}$\\<br />\\<br />$\overline{PQ}^2=\overline{PS}\cdot \overline{PR}$$ Archivo(s) Adjunto(s) Tarea3p7.JPG ( 16.57k ) Número de descargas: 0 -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2007, 01:46 PM Publicado: #8
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	El problema 7 corresponde a uno mismo posteado en este link: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=232...t=0&#entry33813 Saludos

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2007, 11:23 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Soluci\'on Alternativa Problema 5}$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Aplicando el primer teorema de Ptolomeo en el cuadril\'atero }}ABDC \hfill \\<br /> AC \cdot DB + CD \cdot AB = AD \cdot BC \hfill \\<br /> 21 + 3AB = AD \cdot BC{\text{ (1)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Aplicando el segundo teorema de Ptolomeo en el cuadril\'atero }}ABDC \hfill \\<br /> \frac{{BC}}<br />{{AD}} = \frac{{AC \cdot CD + DB \cdot AB}}<br />{{AC \cdot AB + CD \cdot DB}} \hfill \\<br /> \frac{{BC}}<br />{{AD}} = \frac{{9 + 7AB}}<br />{{3AB + 21}}{\text{ (2)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{De (1) y (2) se deduce:}} \hfill \\<br /> BC^2 = 9 + 7AB \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por pit\'agoras en el tri\'angulo }}ACB \hfill \\<br /> BC^2 = AB^2 - 9 \hfill \\<br /> {\text{De las \'ultimas 2 igualdades se llega a}} \hfill \\<br /> AB^2 - 7AB - 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {AB - 9} \right)\left( {AB + 2} \right) = 0 \to AB = 9 \hfill \\<br /> \therefore \boxed{r = \frac{9}<br />{2}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Primera vez que uso Ptolomeo . --------------------

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