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Evaluacion Nº 1, Duracion: 2 horas

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2007, 05:52 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para que vean que aca en Conce el Verano se vive, publicare las tareas y pruebas con un numero de desfase (para que obviamente no se copien en las tareas que estan haciendo). Por supuesto la parte mas importante, o sea los problemas de clases y maratones, solo los alumnos de la escuela los tendran. Partimos con la prueba de "Bienvenida", que fue tomada sin previo aviso( surprise ) Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Evaluaci_n_n_1.doc ( 54k ) Número de descargas: 284 Evaluacion1.pdf ( 45.45k ) Número de descargas: 528 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2007, 09:54 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Verano Matemático) $TEX: {\bf Problema 3.} En la figura $\overline {AC} = \overline {BD}$; $\measuredangle {\text{ }}ABC$ y $\measuredangle {\text{ }}BCD$ son suplementarios. Probar que $\measuredangle {\text{ }}A = \measuredangle {\text{ }}D$$ post_247_1168311434.png ( 117.12k ) Número de descargas: 1 Demostración: post_1156_1168362123.png ( 8.7k ) Número de descargas: 0 $TEX: Prolongamos $\overline {AB}$ por $B$ y se traza por $D$, $\overline {ED} \parallel \overline {BC}$. Como $\alpha + \beta = 180^\circ$, entonces el $\measuredangle \ CBE = \alpha$, luego se infiere que el cuadril\'atero $BCDE$ es un trapecio is\'osceles, en consecuencia $\overline {CD} = \overline {BE}$. De lo anterior tenemos que el $\triangle BCE \cong \triangle CBD$ entonces $\overline {CE} = \overline {BD} = \overline {AC}$, pero como tambi\'en el cuadril\'atero $BCDE$ es c\'iclico, se tendr\'a que $\measuredangle {\text{ }}A = \measuredangle {\text{ }}E = \measuredangle {\text{ }}D$ para finalmente concluir que $\measuredangle {\text{ }}A = \measuredangle {\text{ }}D$.$

FOXXX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2007, 10:24 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 57 Registrado: 17-September 06 Desde: En tu sUBconciente....... Miembro Nº: 2.283 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ahh q wena puxa aca en la uach no asen cosas asi...= seria simpatico.... pa los q no pueden viajar, io conosco a una xika que viajo de ososrno a conce pa llos cursos de verano puxa = deberian aserlo en todas las u pa promoverla y paara asercar a los alumnos de 3 y 4 q conoscan sus dependencias, eso poh y asiendo cursos de verano en casitah aJJAja -------------------- El éxito es el fracaso superado por la perseverancia La excelencia no es un acto. La excelencia es un hábito El CONOCIMIENTO es poder, la FE una debilidad Asi no mas pohh...!!!!

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2007, 10:42 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Verano Matemático) $TEX: {\bf Problema 4.} Sean $\overline {PB}$ y $\overline {PC}$ las tangentes a la circunferencia en $B$ y $C$ respectivamente. Si $\overline {CD} \perp \overline {AB}$. Pruebe que $\overline {AP}$ dimidia a $\overline {CD}$$ post_1156_1168318433.png ( 4.2k ) Número de descargas: 0 Demostración: post_1156_1168321594.png ( 11.7k ) Número de descargas: 4 $TEX: Prolongamos $\overline {CD}$ hasta que corte a la circunferencia en otro punto llamado $Q$. Respectivamente, se une $A$ con $C$ y $Q$, a su vez $M$ con $C$ y $B$. Entonces, el $\triangle AEQ \sim \triangle CEM$ (criterio AA por \'angulos que subtienden arcos capaces), luego:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {CE} }} = \dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }}\qquad (1)$$\\<br />Por el caso anterior, tambi\'en el $\triangle ABM \sim \triangle AED$ (criterio AA, ambos tienen en com\'un el $\measuredangle \ A$ y un \'angulo recto), posteriormente:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {AE} }} = \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }}\qquad (2)$$\\<br />\noindent Efectuando el producto entre (1) y (2), se obtiene:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {CE} }} \cdot \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {AE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {CE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {CE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} \implies \overline {AQ} \cdot \overline {BM} = \overline {AB} \cdot \overline {CM} \ \emph{Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />$\triangle ACP \sim \triangle CMP$ (criterio AA, poseen \'angulos iguales [inscrito y semi-inscrito], tienen \'angulo com\'un), entonces:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AC} }}<br />{{\overline {CM} }} = \dfrac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {MP} }}\qquad (3)$$\\<br />\noindent Por el mismo caso, el $\triangle ABP \sim \triangle BMP$, as\'i que:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }} = \dfrac{{\overline {BP} }}<br />{{\overline {MP} }}\qquad (4)$$\\<br />\noindent Efectuando el cuociente entre (3) y (4), obtendremos que:$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }}}}<br />{{\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }}}} &= \frac{{\dfrac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {MP} }}}}<br />{{\dfrac{{\overline {BP} }}<br />{{\overline {MP} }}}} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AQ} \cdot \overline {BM} }}<br />{{\overline {CM} \cdot \overline {AB} }} &= 1 \hfill \\<br /> \overline {AQ} \cdot \overline {BM} &= \overline {CM} \cdot \overline {AB} \implies \emph{Finaliza el Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />$\overline {AC} = \overline {AQ}$ corresponde a una congruencia entre los tri\'angulos $ACD$ y $AQD$ (criterio LAL); mientras que $\overline {CP} = \overline {BP}$ corresponde a la propiedad de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Finalmente:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {CE} }} = \dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} = \dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }} \cdot \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} = 1 \implies \overline {CE} = \overline {DE}$$\\<br /><br />\emph{Quod Erat Demonstrandum}$ , sabía que había un error. Se agradece la corrección

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 14 2007, 03:12 PM Publicado: #5
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Jan 14 2007, 12:42 AM) $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\frac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {CE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} \implies \overline {AQ} \cdot \overline {BM} = \overline {AB} \cdot \overline {CM} \ \emph{Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />...<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AQ} \cdot \overline {BM} }}<br />{{\overline {CM} \cdot \overline {BM} }} &= 1 \hfill \\<br /> \overline {AQ} \cdot \overline {BM} &= \overline {CM} \cdot \overline {BM} \implies \emph{Finaliza el Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: $\overline {AB}\not = \overline {BM}$$ Error de tipeo edita eso y la respuesta sera perfecta Mensaje modificado por zirou el Jan 14 2007, 03:25 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2007, 05:50 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Jan 14 2007, 12:42 AM) CITA(Verano Matemático) $TEX: {\bf Problema 4.} Sean $\overline {PB}$ y $\overline {PC}$ las tangentes a la circunferencia en $B$ y $C$ respectivamente. Si $\overline {CD} \perp \overline {AB}$. Pruebe que $\overline {AP}$ dimidia a $\overline {CD}$$ post_1156_1168318433.png ( 4.2k ) Número de descargas: 0 Demostración: post_1156_1168321594.png ( 11.7k ) Número de descargas: 4 $TEX: Prolongamos $\overline {CD}$ hasta que corte a la circunferencia en otro punto llamado $Q$. Respectivamente, se une $A$ con $C$ y $Q$, a su vez $M$ con $C$ y $B$. Entonces, el $\triangle AEQ \sim \triangle CEM$ (criterio AA por \'angulos que subtienden arcos capaces), luego:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {CE} }} = \dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }}\qquad (1)$$\\<br />Por el caso anterior, tambi\'en el $\triangle ABM \sim \triangle AED$ (criterio AA, ambos tienen en com\'un el $\measuredangle \ A$ y un \'angulo recto), posteriormente:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {AE} }} = \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }}\qquad (2)$$\\<br />\noindent Efectuando el producto entre (1) y (2), se obtiene:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {CE} }} \cdot \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {AE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {CE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {DE} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {CE} }} &= \frac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \frac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} \implies \overline {AQ} \cdot \overline {BM} = \overline {AB} \cdot \overline {CM} \ \emph{Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />$\triangle ACP \sim \triangle CMP$ (criterio AA, poseen \'angulos iguales [inscrito y semi-inscrito], tienen \'angulo com\'un), entonces:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AC} }}<br />{{\overline {CM} }} = \dfrac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {MP} }}\qquad (3)$$\\<br />\noindent Por el mismo caso, el $\triangle ABP \sim \triangle BMP$, as\'i que:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }} = \dfrac{{\overline {BP} }}<br />{{\overline {MP} }}\qquad (4)$$\\<br />\noindent Efectuando el cuociente entre (3) y (4), obtendremos que:$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }}}}<br />{{\dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }}}} &= \frac{{\dfrac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {MP} }}}}<br />{{\dfrac{{\overline {BP} }}<br />{{\overline {MP} }}}} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AQ} \cdot \overline {BM} }}<br />{{\overline {CM} \cdot \overline {AB} }} &= 1 \hfill \\<br /> \overline {AQ} \cdot \overline {BM} &= \overline {CM} \cdot \overline {AB} \implies \emph{Finaliza el Lema} \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />$\overline {AC} = \overline {AQ}$ corresponde a una congruencia entre los tri\'angulos $ACD$ y $AQD$ (criterio LAL); mientras que $\overline {CP} = \overline {BP}$ corresponde a la propiedad de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Finalmente:<br /><br />$$\dfrac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {CE} }} = \dfrac{{\overline {AQ} }}<br />{{\overline {CM} }} \cdot \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} = \dfrac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BM} }} \cdot \dfrac{{\overline {BM} }}<br />{{\overline {AB} }} = 1 \implies \overline {CE} = \overline {DE}$$\\<br /><br />\emph{Quod Erat Demonstrandum}$ , sabía que había un error. Se agradece la corrección Me parece bien que hayas resuelto el problema por semejanza, que era la idea fundamental de este problema. Ahora te propongo, para seguir mejorando, que le encuentres una solucion alternativa a este problema, usando el Hint adjunto en PDF. Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Hint_P4.pdf ( 16.22k ) Número de descargas: 123 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2007, 07:08 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Gracias por el Hint Aunque te advierto que tienes que nacer tres veces para alcanzarme en Corel (jeje, en buena ) Solución alterna: $TEX: Antes que nada y primero que todo, vamos a demostrar que el $\triangle QCP$ es is\'osceles.$ $TEX: No es dif\'icil visualizar que el $\measuredangle {\text{ }}ACD = \measuredangle {\text{ }}AQB = \measuredangle {\text{ }}ABC = \alpha$. Por otra parte como el $\triangle CBP$ es is\'osceles (eso puede verse claro por las tangentes trazadas), es directo que el $\measuredangle {\text{ }}QCP = \alpha$, y por tanto la prueba est\'a completa.\\<br /><br />\noindent Sea $E = \overline {AP} \cap \overline {CD}$. Ahora bien el $\triangle ADE \sim \triangle ABP$ y luego:<br /><br />$$\dfrac{\boxed{\overline {DE} }}<br />{{\overline {BP} }} = \dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {AP} }} \qquad (1)$$\\<br />De la misma manera, se obtiene que el $\triangle ACE \sim \triangle AQP$, as\'i que:<br /><br />$$\dfrac{{\boxed{\overline {CE} }}}<br />{{\overline {QP} }} = \dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {AP} }} \qquad (2)$$\\<br />Comparando (1) y (2) se obtiene que:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \frac{{\overline {CE} }}<br />{{\overline {QP} }} &=& \frac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {BP} }} \hfill \\<br /> \overline {CE} &=& \overline {DE} \qquad \Big/ P \ \text {es punto medio de} \ \overline {BQ}\hfill \\ <br />\end{eqnarray}$

Gazoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2007, 08:03 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Jan 28 2007, 09:08 PM) Gracias por el Hint Aunque te advierto que tienes que nacer tres veces para alcanzarme en Corel (jeje, en buena ) Jaja, una sorpresa: El dibujo está hecho en Latex Saludos -------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein. Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2007, 08:04 PM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Jan 28 2007, 09:08 PM) Gracias por el Hint Aunque te advierto que tienes que nacer tres veces para alcanzarme en Corel (jeje, en buena ) Solución alterna: $TEX: Antes que nada y primero que todo, vamos a demostrar que el $\triangle QCP$ es is\'osceles.\\<br /><br />No es dif\'icil visualizar que el $\measuredangle {\text{ }}ACD = \measuredangle {\text{ }}AQB = \measuredangle {\text{ }}ABC = \alpha$. Por otra parte como el $\triangle CBP$ es is\'osceles (eso puede verse claro por las tangentes trazadas), es directo que el $\measuredangle {\text{ }}QCP = \alpha$, y por tanto la prueba est\'a completa.\\<br /><br />\noindent Sea $E = \overline {AP} \cap \overline {CD}$. Ahora bien el $\triangle ADE \sim \triangle ABP$ y luego:<br /><br />$$\dfrac{\boxed{\overline {DE} }}<br />{{\overline {BP} }} = \dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {AP} }} \qquad (1)$$\\<br />De la misma manera, se obtiene que el $\triangle ACE \sim \triangle AQP$, as\'i que:<br /><br />$$\dfrac{{\boxed{\overline {CE} }}}<br />{{\overline {QP} }} = \dfrac{{\overline {AE} }}<br />{{\overline {AP} }} \qquad (2)$$\\<br />Comparando (1) y (2) se obtiene que:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \frac{{\overline {CE} }}<br />{{\overline {QP} }} &=& \frac{{\overline {DE} }}<br />{{\overline {BP} }} \hfill \\<br /> \overline {CE} &=& \overline {DE} \qquad \Big/ P \ \text {es punto medio de} \ \overline {BQ}\hfill \\ <br />\end{eqnarray}$ Corel?? Eso es Latex. PD: Trabajo en latex porque asi integro los dibujos a cualquier cosa con matematicas en un solo formato y queda imprimible. Ademas es solo un monito el que hice, en latex se pueden hacer muchas mas cosas. Adjunto dos ejemplos mas. Archivo(s) Adjunto(s) Ejemplos.pdf ( 29.59k ) Número de descargas: 106 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2007, 08:45 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Yo no entender esa tecnología

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