Teorema de Pascal, sin asustarse...al leerlo Opciones

[Rurouni Kenshin]

El teorema de Pascal, descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) a la edad de dieciseís años se refiere a puntos alineados:

Si los seis vértices de un hexágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados.

A la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal.
A continuación vemos cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.

Elipse


Parabola


Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.(se que aun no conocen el concepto de problema dual,ni de dualidad en geometria)
El teorema de Pascal no acaba aquí. Porque dados seis puntos, no podemos hablar sólo de una recta de Pascal.
A partir de 6 puntos es posible considerar 60 hexágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker.

Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límite
El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices contiguos del hexágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.
Por ejemplo,

En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.

En la figura, la recta tangente (en color rojo) a uno de los puntos ha sustituido a uno de los lados del hexágono.



Para un cuadrilátero podemos expresar

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta.



O también

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta.



Por último, para un triángulo

En todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta.

[aniquilador]

Hola, hace mucho tiempo que no pasaba por esta parte del foro y hace unos días, revisando unos apuntes sobre el teorema de Pascal, surgieron las siguientes dudas acerca de algunos casos particulares:


i) El teorema sigue siendo válido aunque el hexágono inscrito no sea convexo.


ii) El teorema sigue siendo válido si uno de los lados del hexágono inscrito tiende a cero. En el límite, el hexágono se convierte en pentágono, y basta reemplazar el lado desaparecido por la tangente a la circunferencia en el vértice considerado.


iii) Por esta misma razón, se cortan sobre una recta los lados opuestos de un cuadrilátero inscrito y dos tangentes a la circunferencia en vértices opuestos.


iv) Cuando tres lados no consecutivos del primitivo hexágono inscrito se han reducido a cero, se llega al siguiente resultado: En un triángulo inscrito en una circunferencia las tangentes trazadas por cada vértice cortan a los lados opuestos en puntos alineados.

Me gustaría, si es posible, que alguien me ayudara con estas demostraciones

PD: si esto no corresponde aca, sorry

[Kaissa]

En realidad esta es una copia media fail de una página de García Capitán... debería haberse hecho hincapié en los casos degenerados (un cuadrilátero cíclico) y las propiedades polares que se obtienen.

[jipvX]

En realidad esta es una copia media fail de una página de García Capitán... debería haberse hecho hincapié en los casos degenerados (un cuadrilátero cíclico) y las propiedades polares que se obtienen.

Tía Kaissa podría dar el link al que hace referencia? :c

[Kasanizo]

Tía Kaissa podría dar el link al que hace referencia? :c

supongo que se refiere a las pags 8-11 de esto
http://es.scribd.com/doc/141073767/Garcia-...Bella-Geometria

[jipvX]

supongo que se refiere a las pags 8-11 de esto
http://es.scribd.com/doc/141073767/Garcia-...Bella-Geometria

Gracias

[Kaissa]

De hecho menciona los casos degenerados, sin embargo no se habla de consecuencias iniciales que solucionan harto la vida cuando piensas por ejemplo en el Teorema de Brocard (para cuadriláteros completos)