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> Teorema de Pappus
Rurouni Kenshin
mensaje Sep 8 2005, 11:24 AM
Publicado: #1


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El teorema de Pappus fue demostrado por primera vez por Pappus de Alejandría, alrededor del año 300 a.c. Un enunciado de este teorema puede ser el siguiente:

Si los puntos A, B y C están en una recta, los puntos A', B' y C' en otra y las rectas AB', BC' y CA' cortan a las rectas BA', CB' y AC', entonces los puntos de intersección están alineados.



Este teorema tiene unas características completamente proyectivas, ya que no habla de distancias ni de ángulos, ni tampoco de ningún orden de unos puntos respecto de otros, sólo de puntos que están en rectas (incidencia).


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Kreator
mensaje Feb 26 2013, 07:32 PM
Publicado: #2


Dios Matemático
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Si no les molesta, voy a presentar una solución no demasiado elegante del problema.

Para esto, voy a replantear el problema dada otra notación (geogebra pls)

TEX: Si los puntos $A,C,E$ están en una recta, y los puntos $B,F,D$ en otra, y las rectas $AB,CD,EF$ intersectan a las rectas $DE,FA,BC$, entonces los puntos de intersección están alineados. \\<br />


Demostración:


TEX: Sean $G,H,I$ los puntos de intersección del problema. Al pensar en demostrar una "colinealidad", lo lógico es pensar en el Teorema de Menelao. Entonces, mirando la figura, prolongamos los segmentos $EF$ y $CD$ hasta intersectarlos en $K$. Además, definimos como $L$ la intersección de $AB$ y $EF$, y como $M$ la intersección de $AB$ y $CD$. Los "menelaos" que realizaremos serán con respecto al triángulo $\triangle KLM$ (esto porque todos los puntos del problema se encuentran en alguno de los lados de este triángulo, o sus prolongaciones)<br /><br />Ahora, mirando el triangulo, consideramos las rectas que contienen los siguientes puntos $EHD, AIF, BOC, ACE y BFD$, para formar los siguientes "menelaos":\\<br /><br />$\dfrac{LH}{HM} \cdot \dfrac{MD}{DK} \cdot \dfrac{KE}{EL}=1$ (1)\\<br />$\dfrac{LA}{AM} \cdot \dfrac{MI}{IK} \cdot \dfrac{KF}{FL}=1$ (2)\\<br />$\dfrac{LB}{BM} \cdot \dfrac{MC}{CK} \cdot \dfrac{KG}{GL}=1$ (3)\\<br />$\dfrac{LA}{AM} \cdot \dfrac{MC}{CK} \cdot \dfrac{KE}{EL}=1$ (4)\\<br />$\dfrac{LB}{BM} \cdot \dfrac{MD}{DK} \cdot \dfrac{KF}{FL}=1$ (5)\\<br /><br />Si tomamos (1) $\cdot$ (2) $\cdot$ (3) y lo dividimos por (4)$\cdot$(5), obtenemos: \\<br /><br />$\dfrac{LH}{HM} \cdot \dfrac{MI}{IK} \cdot \dfrac{KG}{GL}=1$\\<br /><br />que, por el inverso del Teorema de Menelao, nos permite concluir que $G,H$ e $I$ son colineales, terminando la prueba.<br /><br />


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Kaissa
mensaje Jun 20 2013, 11:50 AM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Tranquilo, las más "elegantes" son horrorosas de redactar.

Es cosa de mirar la de J-L Ayme.


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