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dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 12 2007, 07:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{P_{32}}$$ $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Determinar}\text{, en forma decimal}\text{, la suma de las ra\'ices}\text{, la suma de las ra\'ices } \hfill \\<br /> \text{tomadas de dos en dos}\text{, la suma de los cuadrados de las ra\'ices y la suma} \hfill \\<br /> \text{de los reciprocos de las ra\'ices de la ecuaci\'on 2x}^\text{3} - x + 2 = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2010, 07:26 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: <br />$ $\\<br />Primera parte:\\<br />$ $\\<br />Imagino que una vez postee la soluci\'on la ver\'a harta gente que no est\'a acostumbrado(a) a trabajar con las relaciones de Cardano-Vieta, y para no tener que estar explicando todo en otro post me pongo el parche antes de la herida y comienzo con\\<br />$ $\\<br />\textbf{Las relaciones de Cardano-Vieta para una ecuaci\'on c\'ubica}: Consideramos $p,q,r,s\in\mathbb{R}$ y la ecuaci\'on $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$.\\<br />Recordemos que $x=\alpha$ es soluci\'on de una ecuaci\'on de esta forma s\'i y s\'olo s\'i al sustituir $x$ por $\alpha$ en la ecuaci\'on resulta justamente 0.\\<br />Esto equivale a decir que $x-\alpha$ divide al lado izquierdo de la igualdad y por tanto existe $f(x)\in\mathbb{C}[x]$ tal que $(x-\alpha)f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$.\\<br />Tambi\'en es sabido que esta ecuaci\'on tiene exactamente tres soluciones complejas, pudiendo ser estas iguales o distintas.\\<br />Enonces el polinomio en cuesti\'on se puede factorizar en exactamente tres polinomios lineales complejos digamos $x-\alpha$, $x-\beta$ y $x-\gamma$.\\<br />Esto nos lleva a la igualdad<br />\begin{eqnarray}<br />(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^{3}+px^{2}+qx+r<br />\end{eqnarray}<br />Esta igualdad no debe ser considerada como una ecuaci\'on, sino una igualdad de polinomios, lo cual implica (por definici\'on de igualdad de polinomios) que los coeficientes de la inc\'ognita del lado izquierdo deben ser iguales a los del lado derecho para cada t\'ermino.\\<br />Trabajando un poco la igualdad reci\'en descrita llegamos a<br />\begin{eqnarray}<br />x^{3}-(\color{blue}{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}\color{black}{)x^{2}+(}\color{red}{\alpha+\beta+\gamma}\color{black}{)x-}\color{Sepia}{\alpha\beta\gamma}\color{black}{=x^{3}}+\color{blue}{p}\color{black}{x^{2}+}\color{red}{q}\color{black}{x+}\color{Sepia}{r}<br />\end{eqnarray}<br />Y por lo anteriormente expuesto obtenemos las igualdades<br />\begin{eqnarray}<br />\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-p\\<br />\alpha+\beta+\gamma=q\\<br />\alpha\beta\gamma=-r<br />\end{eqnarray}<br />Ecuaciones llamadas Relaciones de Cardano Vieta.<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Feb 7 2010, 07:31 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2010, 07:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Segunda Parte:\\<br />$ $\\<br />La ecuaci\'on que se nos propone la podemos normalizar (es decir, hacer que el coeficiente director quede como 1) quedando $x^{3}-\dfrac{1}{2}x+1=0$ de la cual deducimos que $p=0$, $q=-\dfrac{1}{2}$ y $r=1$.\\<br />$ $\\<br />Veamos ahora como respondemos el problema:\\<br />$\bullet$ Se pide la suma de las raices, es decir $\alpha+\beta+\gamma$ y en virtud de lo recientemente estudiado vemos claramente que este valor corresponde a $q$, que en esta ecuaci\'on vale $\dfrac{1}{2}=0.5$ (piden la forma decimal).\\<br />$\bullet$ Despu\'es se pide la suma de las raices tomadas de dos en dos, cosa que aunque mal redactada se entiende que se refiere a $\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma$, que por un argumento similar al dado en el caso anterior resulta ser igual a $-p=0$.\\<br />$\bullet$ Finalmente se viene lo interesante: se pide la suma de los rec\'iprocos o sea $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$; pero despu\'es de un poquit\'in de \'algebra llegamos a que eso es equivalente a $\dfrac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma}=\dfrac{-p}{r}=\dfrac{0}{-1}=0$.\\<br />Terminando as\'i la soluci\'on pedida.$ Mensaje modificado por Kaissa el Feb 7 2010, 07:32 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2010, 07:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	impecable! poner la introduccion por si acaso yo creo q a Resueltos! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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