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> P030, Resuelto por Krizalid
dex
mensaje Jan 12 2007, 01:02 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: $\boxed{P_{30}}$<br />

TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Tres circunferencias son tangentes entre s\'i exteriormente y sus radios miden} \hfill \\<br /> \text{1}\text{, 2 y 3}\text{. Determinar el radio de la circunferencia que pasa por los puntos de} \hfill \\<br /> \text{tangencia de estas circunferencias}\text{.} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />


--------------------
"Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"
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「Krizalid」
mensaje Jan 12 2007, 01:59 PM
Publicado: #2


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TEX: Sean $A$, $B$ y $C$ los centros de las circunferencias cuyos radios son 3, 2 y 1 respectivamente. Sea $r$ el radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos tangenciales. Se unen los centros de cada una de las circunferencias. En circunferencias tangentes exteriormente, la distancia de sus centros, equivale a la suma de sus radios, as\'i que $c=5$, $a=3$ y $b=4$, estos valores satisfacen $c^2=a^2+b^2$, as\'i que el $\triangle ABC$ es rect\'angulo en $C$. Los puntos de tangencias de las tres circunferencias son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en el tri\'angulo. Dado que en un tri\'angulo rect\'angulo con su respectiva circunferencia inscrita se cumple que la suma de los catetos equivale a la suma entre la hipotenusa y el duplo de la circunferencia inscrita, entonces:<br /><br />\begin{equation*}<br />\begin{aligned}<br />a+b&=c+2r\\<br />3+4&=5+2r\\<br />2r&=2\\<br />\therefore \ r&=1<br />\end{aligned}<br />\end{equation*}
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