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P029, Resuelto por Vargüitas DSLU

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dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 12 2007, 12:58 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{P_{29}}$$ $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Determinar el mayor valor que puede tomar p + q}\text{, si p y q son n\'umeros} \hfill \\<br /> \text{primos distintos}\text{, entre 1 y100}\text{, tales que los siguientes cinco n\'umeros:} \hfill \\<br /> \text{p + 6; p + 10 ; q + 4 ; q + 10 y p + q + 1 son todos n\'umeros primos} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

locusamoris Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 1 2007, 12:53 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 112 Registrado: 2-June 07 Miembro Nº: 6.357	Comenzamos por el mayor de los primos menor que 100. 97 cumple para ser p ó q 79 cumple para ser q Aquí nos detenemos y si tomamos p=97 y q=79 tomando la ultima condicion p+q+1=primo, falla. 73 cumple para ser p Ahora tomamos p=73 y q=97 y falla. Tambien p=73 y q=79 y de nuevo no resulta. .. y así... siguiendo el proceso Hasta que encontramos dos pares de numeros p=73 y q=43. Pero puede ser, por ejemplo, que 97 o 79 este junto a otro primo menor que 43 y sumen más.(hay que verificar con primos que siguen) Pero por lo visto son p=73 y q=43. Sumando 136. Mensaje modificado por Teutonic Witch el Aug 1 2007, 01:14 AM -------------------- < romero jazmin flor de naranjo >

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2007, 09:56 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bien, faltan muchos detalles para dar esta solución por correcta. Hasta aquí, sólo tenemos un tanteo en busca de la solución correcta. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 03:42 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Previo al problema, recordemos que el unico primo $TEX: $p\equiv 0\mod3$$ es $TEX: $p=3$$ . Veamos que $TEX: $p+6\equiv p\pmod3$$ , $TEX: $p+10\equiv p+1\pmod3$$ , $TEX: $q+4\equiv q+1\pmod3$$ , $TEX: $q+10\equiv q+1\pmod3$$ . Notemos que se deben cumplir las 3 siguientes condiciones: * $TEX: $p$$ no debe ser 3 (si $TEX: $p=3, p+6=9$$ , el cual no es primo) * $TEX: $p$$ no debe ser congruente a $TEX: $2\mod3$$ (porque si $TEX: $p\equiv 2\mod3$$ , entonces $TEX: $p+10=3$$ , o sea $TEX: $p=-7$$ . lo que no nos sirve) * $TEX: $q$$ no debe ser congruente a $TEX: $2\mod3 $$ (porque si $TEX: $q\equiv 2\mod3$$ , entonces $TEX: $q+10\equiv q+4\equiv 0\mod3$$ y no existen 2 primos divisibles por 3). Analizaremos 2 casos: Caso 1: Sean $TEX: $p\equiv 1\mod3$$ y $TEX: $q\equiv 1\mod3$$ . Entonces $TEX: $p+q+1\equiv 0\mod3$$ , lo cual es imposible porque $TEX: $p+q+1\ge 5$$ si $TEX: $p,q, p+q+1$$ son primos. Caso 2: Sean $TEX: $p\equiv 1\mod3$$ y $TEX: $q=3$$ . El mayor primo menor que 100 congruente a $TEX: $1\mod3$$ es 97, por lo tanto $TEX: $p=97, q=3$$ y $TEX: $p+q=100$$ (esta solucion sirve porque $TEX: $p+q+1=101$$ , el cual es primo) Saludos 73+43+1=117=913, por lo tanto no es primo -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:* Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 05:43 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora sí, tenemos solución correcta por Vargüitas DSLU -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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