Teorema de Ceva Opciones

[Rurouni Kenshin]

Sean X, Y, Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).
Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.



El teorema de Ceva afirma:
Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces




Demostración del teorema
La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.



Entonces



De la misma forma, se obtiene que



Multiplicando,



El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen



Entonces las tres cevianas son concurrentes.

La demostracion del reciproco queda propuesta para nuestros usuarios.

PD:La verdad es que quienes conocen bien este teorema saben que los puntos X,Y,Z no necesariamente tienen que estar adentro del triangulo...seria interesante generar una discusion al respecto.

[Rurouni Kenshin]

Aca una Demostracion Alternativa del Teorema de Ceva usando el Teorema de Menelao
Enunciado y Demostracion del Teorema de Ceva
Espero lo disfruten tanto como yo

Necesitan de Flash Player para poder verlo...asi que si no lo tienen...aca pueden descargarlo
Flash Player

[Killua]

El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que
Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img317.imageshack.us/img317/4056/g71ra.png');}" />

Entonces las tres cevianas son concurrentes.
La demostracion del reciproco queda propuesta para nuestros usuarios.

Demostración:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img344.imageshack.us/img344/5863/rceva4lp.png');}" />


Para probar esto, supongamos que las cevianas concurren en , como en el teorema de Ceva, y que una tercera ceviana que pasa por es . Luego, por el teorema de Ceva:



Pero estamos asumiendo (enunciado):



Entonces:



coincide con , entonces hemos probado que son concurrentes.

Saludos

[Rurouni Kenshin]

coincide con , entonces hemos probado que son concurrentes.

Me gustaria ver una demostracion de esto ultimo...

Todo lo demas es super claro, pero ese paso es uno que el coxeter no justifica, y seria bueno tener algun fundamento...

Saludos

[Killua]

Me gustaria ver una demostracion de esto ultimo...

Todo lo demas es super claro, pero ese paso es uno que el coxeter no justifica, y seria bueno tener algun fundamento...

Saludos   

Bueno, primero:

y:



Entonces:




Lo segundo:

Ya que las cevianas concurren en , se concluye que son el mismo punto.

Saludos y ojalá esté claro.

[Rurouni Kenshin]

Bueno, primero:

y:



Entonces:

Se concluye lo primero.
Lo segundo:

Ya que las cevianas concurren en , se concluye que son el mismo punto.

Saludos y ojalá esté claro.
 

Ahora con mayor razon, puedo decirte que no es correcto, por los siguiente motivos.
1) ¿Como llegaste a la conclusion que ambas concurrian en el mismo punto P?

2) ¿Entonces de que sirvio probar lo primero?

Saludos

[Killua]

Ahora con mayor razon, puedo decirte que no es correcto, por los siguiente motivos.
1) ¿Como llegaste a la conclusion que ambas concurrian en el mismo punto P?

2) ¿Entonces de que sirvio probar lo primero?

Saludos   

Me equivoqué en justificar lo segundo, lo hice muy a la rápida.

Bueno, para concluir que , tenemos que probar que

Notemos que pasa por , o sea es la prolongación del . Del mismo modo es la prolongación de . Y tenemos que uno de los postulados de Euclides dice que por dos puntos pasa sólo una recta. Se concluye que , y los puntos y son el mismo (al pertenecer a la misma recta)

Saludos

[Killua]

Otra demostración de que , a partir de lo primero:

Por la propiedad 3 de Relaciones entre áreas y bases, tenemos que:



Y:



Luego, y , y son el mismo segmento y

[Rurouni Kenshin]

  Me equivoqué en justificar lo segundo, lo hice muy a la rápida.

Bueno, para concluir que , tenemos que probar que

Notemos que pasa por , o sea es la prolongación del . Del mismo modo es la prolongación de . Y tenemos que uno de los postulados de Euclides dice que por dos puntos pasa sólo una recta. Se concluye que , y los puntos y son el mismo (al pertenecer a la misma recta)

Saludos
   

Creo que la confusion aun continua..asi que tendre que ser mas explicito...
Fijate bien en lo que vamos a probar(esto es importante, pues tu tienes un dato...que no has usado...)

Esa propiedad te permitio implicar que

Esto es un detalle super importante, pues hasta ahora en ningun momento has usado ese dato, y por ende sigo preguintandome...¿para que probaste eso entonces?

Pero lo mas importante, tienes confusion en tu construccion, pues en ningun caso tu sabes que , y concurran, y mucho menos tienes certeza que sea la prolongacion de . De hecho si eso fuera cierto, entonces simplemente nos olvidamos de todo lo hecho durante la demostracion, y seria evidente que , y entonces estariamos listos....

Creo que antes de postear de nuevo, reflexiona muy bien lo que estas tratando de demostrar, y que figura es valida en tu demostracion(dado que el teorema de ceva tiene una doble implicancia, creo que para la implicancia de vuelta, estas mirando la figura de ida...)

Bueno, eso..saludos

PD: A seguir pensando...

[Rurouni Kenshin]

Otra demostración de que , a partir de lo primero:

Por la propiedad 3 de Relaciones entre áreas y bases, tenemos que:



Y:



Luego, y , y son el mismo segmento y

Seguimos con el mismo error....
Insisto, tienes que comprender que para la vuelta, tu no tienes la certeza de la concurrencia, y tu quieres probar que la concurrencia efectivamente se da...

Saludos