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Un bonito descubrimiento, Sin solucion: Parte a),Parte b)

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 09:56 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sobre un plano cartesiano, construimos un cuadrado con vertices en $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, luego a partir de $(1,1)$, y $(2,0)$ contruimos un cuadrado disjunto del primero, luego a partir de $(2,2)$ y $(0,1)$ construimos un cuadrado disjunto de los anteriores. Luego seguimos la secuencia de las construcciones, como muestra la figura. <br /><br />a)Encuentre una expresion que defina el area del n-simo cuadrado.<br /><br />b)Demuestre que la recta que pasa por (1,0) y (2,2), pasa por un vertice de todos los cuadrados del lado derecho.$ Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Sep 21 2010, 05:24 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 02:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hola Pedantic, bonito ejercicio, es un resultado personal?. Seguramente. Bueno, espero que esté correcto, aquí vamos $TEX: \noindent<br />Sea $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ la sucesión que forman los lados de los cuadrados y sea $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ la sucesión de Fibonacci, donde $f_0=0$, $f_1=1$ y $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$, si $n\geq 1$.<br />Observemos que los lados de los cuadrados están determinados por la siguiente recursión:<br />\begin{eqnarray}<br />b_1&=&1\\<br />b_{n}&=& \sqrt{f_{n}^2+f_{n-1}^2} \,\ ,\,\ \hbox{si $n\geq 2$}<br />\end{eqnarray}<br />Pero los números de Fibonacci satisfacen que $f_n^2+f_{n-1}^2=f_{2n-1}$, si $n \geq 2$.$ ver aqui $TEX: \noindent Luego tenemos que \\<br />$b_{n}=\sqrt{f_{2n-1}}$, para todo $n$ natural (pues también $b_1=\sqrt{f_1}=1$).\\<br />Por tanto, si deseamos el área del n-ésimo cuadrado, ésta viene dada por<br />$$b_n^2=f_{2n-1} \,\, \,\ \hbox{$\forall n \in \mathbb{N}$}$$ <br />ó bien,<br />$$b_n^2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}-\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}\right)$$ \,\, \,\ \hbox{$\forall n \in \mathbb{N}$}$ Saludos Mensaje modificado por tochalo el Sep 19 2010, 05:43 PM

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 03:18 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(tochalo @ Sep 19 2010, 03:56 PM) Hola Pedantic, bonito ejercicio, es un resultado personal?. Seguramente. Bueno, espero que esté correcto, aquí vamos $TEX: \noindent<br />Sea $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ la sucesión que forman los lados de los cuadrados y sea $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ la sucesión de Fibonacci, donde $f_0=0$, $f_1=1$ y $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$, si $n\geq 1$.<br />Observemos que los lados de los cuadrados están determinados por la siguiente recursión:<br />\begin{eqnarray}<br />b_1&=&1\\<br />b_{n}&=& \sqrt{f_{n}^2+f_{n-1}^2} \,\ ,\,\ \hbox{si $n\geq 2$}<br />\end{eqnarray}<br />Pero los números de Fibonacci satisfacen que $f_n^2+f_{n-1}^2=f_{2n-1}$, si $n \geq 2$.$ ver aqui $TEX: \noindent Luego tenemos que \\<br />$b_{n}=\sqrt{f_{2n-1}}$, para todo $n$ natural (pues también $b_1=\sqrt{f_1}=1$).\\<br />Por tanto, si deseamos el área del n-ésimo cuadrado, ésta viene dada por<br />$$b_n=f_{2n-1} \,\, \,\ \hbox{$\forall n \in \mathbb{N}$}$$ <br />ó bien,<br />$$b_n=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}-\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-1}\right)$$ \,\, \,\ \hbox{$\forall n \in \mathbb{N}$}$ Saludos No me queda muy claro el porque $TEX: $b_{n}=\sqrt{f_{n}^2+f_{n-1}^2}$$ , y ademas usas b_n para representar tanto el area del cuadrado, como el valor de su lado, lo que resulta confuso. Aclaras esto y tenemos lista la parte a). PD: Si, si es un resultado personal Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Sep 19 2010, 03:23 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 06:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hola, lo del $TEX: $b_n$$ fue un error de tipeo, no lo elevé el cuadrado. Ahora ya está editado. Ahora bien, para $TEX: $b_{n}= \sqrt{f_{n}^2+f_{n-1}^2}$$ , fue cuestión de observar como se iban formando los respectivos lados de los cuadrados. Por ejemplo, para hallar el lado del cuarto cuadrado, tomé P en el interior del cuadrado FHKJ de tal forma que IKP es un triángulo rectángulo en P. Luego observé que $TEX: $\overline{IP}$$ y $TEX: $ \overline{PK}$$ son números de fibonacci consecutivos, y lo mismo con cada cuadrado que se iba formando. Luego deduje dicha fórmula. Quería aportar otra propiedad de tu problema. $TEX: \noindent<br />C) Demuestre que el área de los triángulos que se forman entre los cuadrados es constante igual a $ \displaystyle\frac{1}{2}$$ lo habías notado? Saludos Mensaje modificado por tochalo el Sep 19 2010, 06:19 PM Archivo(s) Adjunto(s) Dibujo.PNG ( 45.86k ) Número de descargas: 1

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 06:21 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(tochalo @ Sep 19 2010, 07:11 PM) Hola, lo del $TEX: $b_n$$ fue un error de tipeo, no lo elevé el cuadrado. Ahora ya está editado. Ahora bien, para $TEX: $b_{n}= \sqrt{f_{n}^2+f_{n-1}^2}$$ , fue cuestión de observar como se iban formando los respectivos lados de los cuadrados. Por ejemplo, para hallar el lado del cuarto cuadrado, tomé P en el interior del cuadrado FHKJ de tal forma que IKP es un triángulo rectángulo en P. Luego observé que $TEX: $\overline{IP}$$ y $TEX: $ \overline{PK}$$ son números de fibonacci consecutivos, y lo mismo con cada cuadrado que se iba formando. Luego deducí dicha fórmula. Quería aportar otra propiedad de tu problema. $TEX: \noindent<br />© Demuestre que el área de los triángulos que se forman entre los cuadrados es constante igual a $ \displaystyle\frac{1}{2}$$ Saludos Buen aporte la parte c) del problema. En cuanto a tu ultima acotacion, es correcta tu afirmacion, pero te basaste en caso particular para deducir lo general. Lo correcto seria, que demostraras que la afirmacion de que IP y PQ son numeros fibonacci consecutivos es correcta para todo cuadrado dentro de la secuencia de construcciones. Saludos PD: Es "deduje", no "deducí" PD2: No, no lo habia notado, bonito descubrimiento. En todo caso existen muchas propiedades que se desprenden de la construccion, no dude en publicar si encuentra alguna. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Sep 19 2010, 06:26 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 06:43 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	jajaja. Lo del "deducí" me di cuenta una vez que ya había escrito el mensaje, pero si te fijaste lo corregí antes de tu post. XD Saludos, estimado

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2010, 03:52 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent<br />\textbf{parte C:}\\<br />Notemos que el primer triángulo, el cual se forma a partir de los dos cuadrados y el eje $x$, tiene área es $\frac{1}{2}$. Lo que nos importa es el área de los triángulos cuyos lados se forman a partir de los cuadrados. Llamemos $T_n$ al n-ésimo triángulo, donde $T_1$ es el triángulo cuyos lados son 1,$\sqrt{2}$ y $\sqrt{5}$. Como concluímos en la primera parte, se sabe el lado del cuadrado $b_n$ corresponde a $\sqrt{f_{2n-1}}$. En consecuencia, los lados de $T_n$ son $\sqrt{f_{2n-1}}$,$\sqrt{f_{2n+1}}$ y $\sqrt{f_{2n+3}}$. Para calcular el area de $T_n$ ($\mathcal{A}_{T_n}$), usaremos la fórmula de Herón. Entonces,<br />\begin{eqnarray}<br />\mathcal{A}_{T_n}&=& \sqrt{S(S-\sqrt{f_{2n-1}})(S-\sqrt{f_{2n+1}})(S-\sqrt{f_{2n+3}})} , \,\ S=\displaystyle\frac{\sqrt{f_{2n-1}}+\sqrt{f_{2n+1}}+\sqrt{f_{2n+3}}}{2}\\<br />&=&\displaystyle\frac{\sqrt{4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}+f_{2n+1}-f_{2n+3})^2}}{4}<br />\end{eqnarray}<br />Desarrollemos la expresión bajo raiz:<br />\begin{eqnarray}<br />4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}+f_{2n+1}-f_{2n+3})^2&=& 4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}-f_{2n+2})^2\\<br />&=& 4f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n-1}(f_{2n+1}+f_{2n})-f_{2n+2}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n-1}f_{2n}-(f_{2n+1}+f_{2n})^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n}(f_{2n-1}-f_{2n+1})-f_{2n+1}^2-f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2-f_{2n+1}^2-3f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2-(f_{2n}+f_{2n-1})^2-3f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - 2f_{2n-1}(f_{2n-1}+f_{2n})-4f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - 2f_{2n-1}f_{2n}-4f_{2n}^2\\<br />&=& 4(f_{2n-1}f_{2n+1}-f_{2n}^2)\\<br />&=& 4\cdot (-1)^{2n} \qquad \qquad \,\ \hbox{Identidad de Cassini}\\<br />&=& 4<br />\end{eqnarray}<br />Luego,<br />$$\mathcal{A}_{T_n}=\displaystyle\frac{\sqrt{4}}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}, \,\ \forall n \in \mathbb{N}$$$ Saludos

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2010, 04:26 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(tochalo @ Sep 20 2010, 04:52 PM) $TEX: \noindent<br />\textbf{parte C:}\\<br />Notemos que el primer triángulo, el cual se forma a partir de los dos cuadrados y el eje $x$, tiene área es $\frac{1}{2}$. Lo que nos importa es el área de los triángulos cuyos lados se forman a partir de los cuadrados. Llamemos $T_n$ al n-ésimo triángulo, donde $T_1$ es el triángulo cuyos lados son 1,$\sqrt{2}$ y $\sqrt{5}$. Como concluímos en la primera parte, se sabe el lado del cuadrado $b_n$ corresponde a $\sqrt{f_{2n-1}}$. En consecuencia, los lados de $T_n$ son $\sqrt{f_{2n-1}}$,$\sqrt{f_{2n+1}}$ y $\sqrt{f_{2n+3}}$. Para calcular el area de $T_n$ ($\mathcal{A}_{T_n}$), usaremos la fórmula de Herón. Entonces,<br />\begin{eqnarray}<br />\mathcal{A}_{T_n}&=& \sqrt{S(S-\sqrt{f_{2n-1}})(S-\sqrt{f_{2n+1}})(S-\sqrt{f_{2n+3}})} , \,\ S=\displaystyle\frac{\sqrt{f_{2n-1}}+\sqrt{f_{2n+1}}+\sqrt{f_{2n+3}}}{2}\\<br />&=&\displaystyle\frac{\sqrt{4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}+f_{2n+1}-f_{2n+3})^2}}{4}<br />\end{eqnarray}<br />Desarrollemos la expresión bajo raiz:<br />\begin{eqnarray}<br />4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}+f_{2n+1}-f_{2n+3})^2&=& 4f_{2n-1}f_{2n+1}-(f_{2n-1}-f_{2n+2})^2\\<br />&=& 4f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n-1}(f_{2n+1}+f_{2n})-f_{2n+2}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n-1}f_{2n}-(f_{2n+1}+f_{2n})^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2+2f_{2n}(f_{2n-1}-f_{2n+1})-f_{2n+1}^2-f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2-f_{2n+1}^2-3f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - f_{2n-1}^2-(f_{2n}+f_{2n-1})^2-3f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - 2f_{2n-1}(f_{2n-1}+f_{2n})-4f_{2n}^2\\<br />&=& 6f_{2n-1}f_{2n+1} - 2f_{2n-1}f_{2n}-4f_{2n}^2\\<br />&=& 4(f_{2n-1}f_{2n+1}-f_{2n}^2)\\<br />&=& 4\cdot (-1)^{2n} \qquad \qquad \,\ \hbox{Identidad de Cassini}\\<br />&=& 4<br />\end{eqnarray}<br />Luego,<br />$$\mathcal{A}_{T_n}=\displaystyle\frac{\sqrt{4}}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}, \,\ \forall n \in \mathbb{N}$$$ Saludos Solucion correcta Tochalo . Ahora a seguir intentando las partes a) y b) -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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