Identificarse Registrarse

Psu
Enseñanza Básica
Enseñanza Media
Universidad
Olimpiadas
Comunidad



 
 Reply to this topicStart new topic
> un polinomio
snw
mensaje Sep 18 2010, 05:38 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 2.139
Registrado: 11-June 08
Desde: UK
Miembro Nº: 26.837
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Universidad de Chile-FCFM
Sexo:



Sea TEX: $P$ un polinomio con coeficientes no negativos tal que TEX: $P(5)=10$ y TEX: $P(20)=40$. Pruebe que TEX: $P(10)\le 20$ y encuentre todos los polinomios donde se de la igualdad.


--------------------
blep
Go to the top of the page
 
+Quote Post
~Fatal_Collapse~
mensaje Sep 18 2010, 06:25 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 1.564
Registrado: 12-November 07
Desde: La Union, XIV Region de los Rios
Miembro Nº: 12.607
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Deutsche Schule
Universidad: Universidad Catolica de Chile
Sexo:



CITA(snw @ Sep 18 2010, 06:38 PM) *
Sea TEX: $P$ un polinomio con coeficientes no negativos tal que TEX: $P(5)=10$ y TEX: $P(20)=40$. Pruebe que TEX: $P(10)\le 20$ y encuentre todos los polinomios donde se de la igualdad.


Más generalmente, se demostrará que si TEX: $x,y$ son reales no negativos, entonces TEX: $P(x)P(y)\ge P(\sqrt{xy})^2$. Escribamos TEX: $P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$ donde cada TEX: $a_k$ es un real no negativo por hipótesis. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple que

TEX: $P(x)P(y)=\left (\displaystyle \sum_{k=0}^n a_kx^k\right)\left (\displaystyle\sum_{k=0}^n a_ky^k\right)\ge \left (\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k(\sqrt{xy})^k\right)^2=P(\sqrt{xy})^2$


Escogiendo TEX: $(x,y)=(5,20)$ obtenemos la desigualdad pedida. La igualdad se alcanza si y solo si existe TEX: $c$ real tal que TEX: $c\cdot a_k\cdot 5^k=a_k\cdot 20^k$ para cada TEX: $k\in \{0,1,...,n\}$, o mejor dicho, TEX: $a_k\cdot 5^k(c-4^k)=0$. Como TEX: $c-4^k=0$ posee a lo más una raiz en los reales y TEX: $5^k>0$ sin importar el TEX: $k$ real que se escoja, se tiene que TEX: $n$ coeficientes del polinomio deben ser nulos, y como TEX: $deg P=n$ (por asumción), TEX: $a_0=a_1=\ldots a_{n-1}=0$, luego TEX: $P(x)=a_nx^n$ donde TEX: $a_n\not=0$. Entonces TEX: $a_n\cdot 5^n=10$ y TEX: $a_n\cdot 20^n=40$, dividiendo queda TEX: $4^n=4$, es decir, TEX: $n=1$ y TEX: $a_n=2$. Por lo tanto TEX: $P(x)=2x$ es el único polinomio que satisface lo pedido. TEX: $\blacksquare$


--------------------
Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años).
Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.



Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011

Currículum Olímpico:
  • "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one
    equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love."
  • "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."
Go to the top of the page
 
+Quote Post
snw
mensaje Sep 18 2010, 06:44 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 2.139
Registrado: 11-June 08
Desde: UK
Miembro Nº: 26.837
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Universidad de Chile-FCFM
Sexo:



CITA(~Fatal_Collapse~ @ Sep 18 2010, 08:25 PM) *
Más generalmente, se demostrará que si TEX: $x,y$ son reales no negativos, entonces TEX: $P(x)P(y)\ge P(\sqrt{xy})^2$. Escribamos TEX: $P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$ donde cada TEX: $a_k$ es un real no negativo por hipótesis. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple que

TEX: $P(x)P(y)=\left (\displaystyle \sum_{k=0}^n a_kx^k\right)\left (\displaystyle\sum_{k=0}^n a_ky^k\right)\ge \left (\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k(\sqrt{xy})^k\right)^2=P(\sqrt{xy})^2$


Escogiendo TEX: $(x,y)=(5,20)$ obtenemos la desigualdad pedida. La igualdad se alcanza si y solo si existe TEX: $c$ real tal que TEX: $c\cdot a_k\cdot 5^k=a_k\cdot 20^k$ para cada TEX: $k\in \{0,1,...,n\}$, o mejor dicho, TEX: $a_k\cdot 5^k(c-4^k)=0$. Como TEX: $c-4^k=0$ posee a lo más una raiz en los reales y TEX: $5^k>0$ sin importar el TEX: $k$ real que se escoja, se tiene que TEX: $n$ coeficientes del polinomio deben ser nulos, y como TEX: $deg P=n$ (por asumción), TEX: $a_0=a_1=\ldots a_{n-1}=0$, luego TEX: $P(x)=a_nx^n$ donde TEX: $a_n\not=0$. Entonces TEX: $a_n\cdot 5^n=10$ y TEX: $a_n\cdot 20^n=40$, dividiendo queda TEX: $4^n=4$, es decir, TEX: $n=1$ y TEX: $a_n=2$. Por lo tanto TEX: $P(x)=2x$ es el único polinomio que satisface lo pedido. TEX: $\blacksquare$


Excelente Ricardo biggrin.gif


--------------------
blep
Go to the top of the page
 
+Quote Post
 

Reply to this topicStart new topic
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):

 

Versión Lo-Fi Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 03:27 PM
Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007  IPS, Inc.