PEP 1. EDO. Primer semestre 2010. Ingemat

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PEP 1. EDO. Primer semestre 2010. Ingemat, Prof. Hernán Henriquez.

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inakamono Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2010, 07:19 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 382 Registrado: 2-January 09 Miembro Nº: 41.601 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{1}}{\text{. Resuelva el problema de valores iniciales }} \hfill \\<br /> {\text{ }}y'(x) = \frac{1}<br />{2}\left( {\frac{{x + y - 1}}<br />{{x + 2}}} \right)^2 \hfill \\<br /> {\text{ }}y(0) = 3 \hfill \\<br /> {\text{Indicando el domino de deficion de la soluci\'o n }}y(x). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{2}}{\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{a}}{\text{. Muestre que la ecuacion diferencial }} \hfill \\<br /> {\text{ }}y'(x) = x^{k - 1} f(x^{ - k} y) \hfill \\<br /> {\text{para }}k \ne 0,{\text{ puede reducirse a una ecuacion conocida con el cambio de variable }}y = x^k u. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b}}{\text{. Muestre que la ecuacion diferencial }} \hfill \\<br /> {\text{ }}x^3 y'(x) = 2y(x^2 - y){\text{ (1)}} \hfill \\<br /> {\text{corresponde al modelo anterior}}{\text{, encontrando la funcion }}f{\text{ apropiada}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c}}{\text{. Utilice esta idea para encontrar la solucion general de la ecuacion (1)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{3}}{\text{. Sea }}n \succ 0.{\text{ Identifique las curvas que intersectan a las curvas }}y = ax^n ,{\text{ }}a \in \Re ,{\text{ en angulos }} \hfill \\<br /> {\text{rectos}}{\text{. Analice diferentes casos que pueden presentarse segun el valor de }}n. \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2016, 06:10 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1. $TEX: $y'=\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{x+y-1}{x+2} \right )^2=\dfrac{1}{2}\left (1+\dfrac{y-3}{x+2} \right )^2$$ Sea $TEX: $z=\dfrac{y-3}{x+2}\underbrace{\Rightarrow }_{x\neq -2} y=zx+2z+3\Rightarrow y'=\dfrac{dy}{dx}=z+x\dfrac{dz}{dx}+2\dfrac{dz}{dx}=z+(x+2)\dfrac{dz}{dx}$$ $TEX: $\therefore y'=z+(x+2)\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{(1+z)^2}{2}\Rightarrow \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{z^2+1}{2(x+2)}$$ $TEX: $\Rightarrow arctg(z)=ln\left \|c\sqrt{x+2} \right \|\Rightarrow z=tg\left (ln\left \|c\sqrt{x+2} \right \| \right )$$ $TEX: $\Leftrightarrow \dfrac{y-3}{x+2}=tg\left (ln\left \|c\sqrt{x+2} \right \| \right )$$ $TEX: $\therefore y(x)=(x+2)tg\left (ln\left \|c\sqrt{x+2} \right \| \right )+3;c\in \mathbb{R}; x > -2$$ $TEX: $y(0)=3=2tg\left (ln\left \|c\sqrt{2} \right \| \right )\Rightarrow c=\dfrac{e^{arctg\left (\frac{3}{2} \right )}}{\sqrt{2}}$$ $TEX: $\therefore y(x)=(x+2)tg\left (ln\left \|\dfrac{e^{arctg\left (\frac{3}{2} \right )}}{\sqrt{2}}\sqrt{x+2} \right \| \right )+3$$ jaja la hue fea, espero esté bien!

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