P192 Opciones

[2+2=4]

[peter]

Tenemos que
7¹ = 7
7²=49
7³=343
7⁴=2.401
y obiamente como 7⁴ termina en 01, las potencias siguientes tendran los 2 ultimos dijitos, iguales que estas ultimas cuatro potencias. (ejm: 7⁵=7⁴·7¹=16.807 =7¹). Por lo que para facilitarnos las cosas usaremos este ciclo de 4 como base.

Por lo tanto como 9999/4= 2.499 y deja resto 3, los 2 ultimos dijitos seran 43 (por lo antes dicho), pero tambien nos piden el 3 dijito, este lo sacaremos de la siguiente forma:

Como dijimos antes estamos usando un ciclo de 4 por que al ser los 2 ultimos dijitos de 7⁴ cero y uno, al multiplicarse con 7^k ( el 1 hace que queden iguales y el cero no afecta lo hecho por el 1),deja los 2 ultimos dijitos de 7^4+k iguales que los de 7^k, pero el problema esta con el tercero ,ya que, (*)7⁴(2.401) tiene un 4 de tercer dijito, el que multiplicado con el ultimo digito de 7^k ( el cual no cambia respecto a su "igual", más adelante en el ciclo), mas el tercero de este mismo da el dijito buscado.
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7^k = tercer termino, dentro del ciclo.

Como dijimos anteriormente nuestro numero buscado esta entre los terceros terminos de nuestro ciclo, los que tienen al 3 (como ultimo dijito), y por lo explicado antes (en (*) ), como 4·3=12,tenemos que 2 + a₃ = a'₃.
a₃, es el tercer dijito de derecha a izquierda y a'₃ es lo mismo pero del siguiente termino equivalente en el ciclo.

para: 7³ = 3+2=5 , el 5 como es el ultimo dijito de 7^7 se convierte en nuestro a₃.
;5+2 = 7
;7+2 = 9
;9+2= 1
y se empieza a repetir, por lo que nos queda dividir 2500 ( veces que sale el tercer termino del ciclo)/5=0, por lo que el digito a₃ de 7⁹⁹⁹⁹ es 1.


Lo pedido es 143

Mensaje modificado por peter el Nov 8 2007, 02:45 PM