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Los mejores "datitos" para Teoria de Conjuntos, Diferencia Simetrica

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2007, 10:56 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Introduccion Definitivamente, en la Teoria de Conjuntos, la Operacion Top a mi parecer es la "Diferencia Simetrica", que ya varios deben conocer en sus dos versiones: 1) $TEX: $A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$$ o bien 2) $TEX: $A\bigtriangleup B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$$ De esta operacion son claves los siguientes hechos: Propiedad 1: $TEX: $A\bigtriangleup \emptyset=\emptyset \bigtriangleup A=A$$ Esta propiedad nos indica que el conjunto vacio actua como "neutro"(que no hace nada, que lo deja igual) para la operacion "triangulito", o sea que el vacio con A, o A con vacio, nos deja siempre A cuando los operamos con triangulito. Propiedad 2: $TEX: $A\bigtriangleup A=\emptyset$$ Esta propiedad nos dice que el conjunto A es "autoinvertible". Por ahora seguramente vaga idea tienen de lo que es eso, pero para que vayan intuyendo, sirve para echarse a la A, o a un conjunto cualquiera, cuando este a ambos lados de una igualdad(lo veremos a continuacion en la propiedad 4, asi que no desesperarse con el lenguaje un poco raro) Propiedad 3: $TEX: $(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C)$$ Esta propiedad se llama "asociativa", y es otra ayuda mas para poder fundamentar la propiedad mas importante con la que trabajaran, que sera la Propiedad 4 (basicamente las propiedades 1,2 y 3 son solo para poder justificar formalmente la propiedad 4) Propiedad 4: $TEX: $A\bigtriangleup X=A\bigtriangleup Y\Rightarrow X=Y$$ Esta propiedad se llama cancelativa. Basicamente, en buen chileno, ustedes pueden echarse las A a ambos lados de una igualdad(se pueden echar las cosas repetidas, siempre y cuando esten operando con triangulito) Demostracion: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />A\bigtriangleup X &=A\bigtriangleup Y\ \ / A\bigtriangleup (\ \ )\\<br />A\bigtriangleup (A\bigtriangleup X) &=A\bigtriangleup (A\bigtriangleup Y) \ \ aplicando\ Propiedad\ 3\\<br />(A\bigtriangleup A)\bigtriangleup X &=(A\bigtriangleup A)\bigtriangleup Y \ \ aplicando\ Propiedad\ 2\\<br />\emptyset \bigtriangleup X &=\emptyset \bigtriangleup Y\ \ Aplicando\ Propiedad\ 1\\<br />X &=Y<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Pero la verdad bien poco se logra si no se ve a la famosa Propiedad 4 en accion, ademas de unirse a las otras 3 si es necesario, ademas de la propiedad basica $TEX: $A\bigtriangleup B= B\bigtriangleup A$$ Asi que ahora viene lo mas interesante, y el objetivo final de este post de ayuda(imprescindible antes del control diria yo) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2007, 11:24 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Aplicaciones Ejemplo 1 $TEX: Probar que $B=A\bigtriangleup B\Rightarrow A=\emptyset$$ Solucion: Notemos que la primera parte del implica se puede escribir como: $TEX: $B\bigtriangleup \emptyset = B\bigtriangleup A$$ y si cancelamos las $TEX: $B$$ como en la Propiedad 4, se obtiene lo pedido. Por cierto esto responde la duda del problema 8.4 posteado aca Ejemplo 2: $TEX: \noindent Sea $U$ el conjunto Universo. Sean $A,B$ conjuntos.\\<br />Demuestre que:\\<br />$[(A^c \cap B)\cup (A\cap B^c)=B]\Rightarrow [A=\emptyset]$$ Solucion Notamos que: $TEX: $A^c\cap B=B\cap A^c=B\setminus A$$ Analogamente: $TEX: $A\cap B^c=A\setminus B$$ Luego: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />(A^c \cap B)\cup (A\cap B^c)&=B\\<br />(B\setminus A)\cup (A\setminus B)&=B\\<br />A\bigtriangleup B=B<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Luego aplicamos el Ejemplo 1, y estariamos listos Ejemplo 3: $TEX: \noindent Sea $A$ un conjunto dado cualesquiera.\\<br />Probar que:\\<br />$[A\cup X=A\cup Y \wedge A\cap X=A\cap Y ]\Rightarrow X=Y$$ Solucion En un ataque de lucidez(como puse en cierta Guia por ahi), nos acordamos de nuestro querido amigo "triangulito", y no dudamos un momento en usarlo, dado que vemos uniones e intersecciones. Notemos que: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />A\bigtriangleup X&= (A\cup X)\setminus (A\cap X)\\<br />&=(A\cup Y)\setminus (A\cap Y)\\<br />&=A\bigtriangleup Y<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Y como ya sabemos, si tenemos que $TEX: $A\bigtriangleup X= A\bigtriangleup Y$$ , podemos "echarnos" las $TEX: $A$$ , por la Propiedad 4, concluyendo lo pedido. Y por ultimo, uno de los problemas a mi parecer mas simples y dificiles que he visto del tema, dentro del nivel que se esta intentando evaluar (no ver la solucion sin intentarlo hacer antes). Problema Extra: $TEX: \noindent Probar que $A\bigtriangleup B\subseteq(A\bigtriangleup C)\cup(B\bigtriangleup C)$$ Solucion: Recordemos primero que: $TEX: $X\bigtriangleup Y \subseteq X\cup Y$$ Asi aplicando todo nuestro arsenal, mas un poquito de creatividad, tendremos: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />A\bigtriangleup B &=A\bigtriangleup \emptyset \bigtriangleup B\\<br />&=A \bigtriangleup C\bigtriangleup C\bigtriangleup B\\<br />&=(A \bigtriangleup C)\bigtriangleup (C\bigtriangleup B)\\<br />&\subseteq (A \bigtriangleup C)\cup (C\bigtriangleup B)\\<br />&=(A \bigtriangleup C)\cup (B\bigtriangleup C)\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ PD: Todo esto de poner y sacar los parentesis cuando yo quiera, se debe a que tenemos la propiedad asociativa, que nos permite hacer eso(puede probarse por induccion) Saludos, y espero les sea de utilidad este aporte a sus estudios -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2007, 05:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	gracias por la informacion, = hoy tuvimos la prueba espero que nos haya ido bn a todos . = se agradece la info, quiza sirva para las otras semanas en la EdV. Saludos -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

tiesto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2008, 10:00 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 2-March 07 Miembro Nº: 4.246 Nacionalidad: Sexo:	vale loco me sirvio kleta.... yo soy super nulo en esto... se agradece

tiesto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2008, 10:01 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 2-March 07 Miembro Nº: 4.246 Nacionalidad: Sexo:	jaja ahora caxe q este tema es terrible antiguo

"G-ZX" "G-ZX" Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 26 2008, 08:05 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.954 Registrado: 8-March 07 Miembro Nº: 4.393

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 26 2008, 10:04 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Aprovecho de dejar este aporte en su versión PDF: difsim.pdf ( 37.56k ) Número de descargas: 169 Saludos

Arratia Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2008, 08:45 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 79 Registrado: 14-October 07 Desde: Valpo-Temuco Miembro Nº: 11.292 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	gracias, esta filete

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