CMAT 2010 - Fecha 5 - Nivel 4 Individual

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2010, 09:21 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	VIII CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 5: Sábado 4 de Septiembre de 2010 Cuarto Nivel Individual Problema 1 Consideremos una función $TEX: $f:\mathbb N\to\mathbb N$$ tal que: $TEX: $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$$ si el máximo divisor común de a y b es 1 $TEX: $f(p+q)=f(p)+f(q)$$ si p y q son primos Pruebe que f(2)=2, f(3)=3 y calcule f(2010) Aclaración: En este problema considere $TEX: $0\notin\mathbb N$$ Problema 2 Considere un triángulo $TEX: $ABC$$ con alturas $TEX: $\overline{AX},\overline{BY},\overline{CZ}$$ e inscrito en una circunferencia $TEX: $O$$ . Sean $TEX: $D=\overleftrightarrow{AX}\cap O,E=\overleftrightarrow{BY}\cap O,F=\overleftrightarrow{CZ}\cap O$$ . Si $TEX: $P=\overleftrightarrow{DE}\cap\overleftrightarrow{AC}$$ y $TEX: $Q=\overleftrightarrow{DF}\cap\overleftrightarrow{AB}$$ , demueste que B,C, P y Q son concíclicos. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT