CMAT 2010 - Fecha 5 - Nivel 3 Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

VIII CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT
Fecha 5: Sábado 4 de Septiembre de 2010
Tercer Nivel Individual

Problema 1
Se tienen tres cajas: una azul, una blanca y una roja, y ocho bolitas. Cada una de las bolitas tiene escrito un número de 1 a 8, sin repeticiones. Se distribuyen las ocho bolitas en las cajas, de modo que haya por lo menos dos bolitas en cada caja. Luego, en cada caja, se suman los números escritos en todas las bolitas que contiene. Los tres resultados se denominan suma azul, suma blanca y suma roja, según el color de la caja correspondiente. Hallar todas las posibles distribuciones de las bolitas en las cajas, tales que la suma roja sea igual al doble de la suma azul, y la suma roja menos la suma blanca sea igual a la suma blanca menos la suma azul.

Problema 2
Probar que existe un único número primo p tal que 2p+1 es un cubo