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Prueba de Clasificación, Nivel Menor, 2010

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2010, 05:23 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	grande maestro!!! gracias por los que faltaban. Ahora ya está armada la prueba Tengo una propuesta de solución para el P5, por Inducción, que fue la realizada por mis compañeros de la categoría menor...a ver si la consideran correcta Vemos que para $TEX: $n=1$, tomamos $a=1, b=2$$ y se cumple lo pedido. Luego, por el método de induccion hacemos: $TEX: \noindent $ a^{2}+b^{2}=5^{n}/\times 4$ \\ <br /> $ 4a^{2}+4b^{2}=5^{n}\times (5-1)=5^{n+1}-5^{n}=5^{n+1}-(a^{2}+b^{2})$ \\ <br /> $ 5(a^{2}+b^{2})=5^{n+1}$ \\$ Hipotesis inductiva : Asumamos que tiene soluciones a y b para cierto entero n. Entnonces , por el procedimiento demostrado, que la ecuacion para exponente n+1 se cumpla se reduce a que sea verdadera la proposicion para exponente n. Esto ,ya que en la ecuacion de arriba simplificamos por 5, quedando la ecuacion para n, que es cierta por la hipotesis de induccion, asi que siempre se cumplirá lo pedido. Saludos!! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2010, 05:32 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6: $TEX: Se tiene que $DM=\dfrac {AB}{3}$ y que $\triangle {MPD}\sim \triangle {APB}$, luego $a^\prime {(MPD)}=\dfrac {a^\prime (APB)}{9}$. Tambien $PD=\dfrac {BP}{3}$, y como la razon entre las areas de dos triangulos de igual altura es proporcional a sus base, se tiene que $a^\prime (ABP)=3a^\prime (APD)$, pero $a^\prime (ABP)+a^\prime (APD)=\dfrac {a^2}{2}\rightarrow a^\prime (ABP)=\dfrac {3a^2}{8}\rightarrow a^\prime (DMP)=\dfrac {a^2}{24}$. Por otra parte tenemos que $BN=\dfrac {AD}{2}$, y que $\triangle {DQA}\sim \triangle {BQN}\rightarrow a^\prime (BQN)=\dfrac {a^\prime (DQA)}{4}$, tambien $QD=2QB$, y como la rason entre las areas de dos triangulos de igual altura es proporcional a sus bases, tenemos que $a^\prime (BAQ)=\dfrac {a^\prime (AQD)}{2}$, pero $a^\prime (BAQ)+a^\prime (AQD)=\dfrac {a^2}{2}\rightarrow a^\prime (AQD)=\dfrac {a^2}{3}\rightarrow a^\prime (BQN)=\dfrac {a^2}{12}$, pero $a^\prime (BQN)+a^\prime (DPM)+a^\prime (MCNQP)=\dfrac {a^2}{2}\rightarrow a^\prime (MCNQP)+\dfrac {a^2}{12}+\dfrac {a^2}{24}=\dfrac {a^2}{2}\rightarrow a^\prime (MCNQP)=\dfrac {3a^2}{8}$.$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2010, 05:36 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo considero que la respuesta "inductiva" correcta es ... Si existen enteros $TEX: $a,b$$ tales que $TEX: $5^n=a^2+b^2$$ entonces $TEX: $5^{n+1}=5(a^2+b^2)=(2^2+1)(a^2+b^2)=(2a)^2+a^2+(2b)^2+b^2$$ Si le sumamos $TEX: $\pm 4ab$$ tenemos que $TEX: $5^{n+1}=(2a-b)^2+(2b+a)^2$ $\Box$$ Ojo: Es sólo lo que yo pienso... saludos -------------------- blep

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2010, 05:45 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	yo lo hice (en el nivel mayor, obviamente) separando los casos par e impar Caso 1 n es impar Notemos que $TEX: $$5=1^{2}+2^{2}$$$ , por lo tanto nuestro caso base n=1 se cumple Supongamos que para n=k (impar) se cumple que existen enteros $TEX: a,b$ tales que $TEX: $$5^{k}=a^{2}+b^{2}$$$ Como estamos viendo el caso n es impar, luego vemos el caso n=k+2 $TEX: $$5^{k+2}=5^{2}\cdot 5^{k}=25\cdot 5^{k}=25(a^{2}+b^{2})=25a^{2}+25b^{2}=(5a)^{2}+(5b)^{2}$$$ Q.E.D Para n par caso analogo considerando que $TEX: $$5^{2}=3^{2}+4^{2}$$$

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2011, 05:34 PM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se me ocurrió una solución alternativa para el problema 5, no se si estará bien, recién me estoy metiendo en teoría de números: $TEX: Pruebe que todos los números de la forma $5^n$, con n entero, pueden ser escritos como la suma de dos cuadrados de números enteros$ Bueno, tenemos que Todo número al cuadrado, al ser dividido por cuatro, deja resto 0 o 1. Entonces, al divividir la suma de dos números al cuadrado, el resto devería ser 0, 1, o 2. Esto sería $TEX: $a^2+b^2\equiv (0, 1 o 2) \bmod{4}$$ Entonces, asumamos que la proposición es cierta, entonces $TEX: $5^n$ =$a^2+b^2$$ Entonces, vemos que $TEX: $5\equiv 1 \bmod{4}$$ Se sigue que $TEX: $5^n\equiv (1)^n\equiv 1 \bmod{4}$$ Esto quiere decir que al ser dividido por cuatro deja resto 1, por lo que puede ser expresado siempre como la suma de dos cuadrados. Espero este bien, no estoy seguro, no me crucifiquen, se me ocurrió recién xDD --------------------

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2011, 08:05 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Isaacus Newtonus @ Sep 12 2011, 06:34 PM) Esto sería $TEX: $a^2+b^2\equiv (0, 1 o 2) \bmod{4}$$ Entonces, asumamos que la proposición es cierta, entonces $TEX: $5^n$ =$a^2+b^2$$ Entonces, vemos que $TEX: $5\equiv 1 \bmod{4}$$ Se sigue que $TEX: $5^n\equiv (1)^n\equiv 1 \bmod{4}$$ Esto quiere decir que al ser dividido por cuatro deja resto 1, por lo que puede ser expresado siempre como la suma de dos cuadrados. No hay una implicación directa ahí...eso que muestras te asegura la congruencia modular con 0,1 ó 2, y el otro a 1. Sí, está bien, pero a mi juicio (puedo equivocarme) te falta mostrar que efectivamente se puede expresar de esa forma. No sé, por ejemplo...2^2+3^2=4+9=13=1 mod4, pero a la vez ese 13 no es potencia de 5. (No se me ocurre algo más formal así que aplico un ejemplo) . Más generalmente, 2 cosas pueden ser congruentes a lo mismo en módulo 5, pero no puedes hacer una equivalencia con la igualdad. Sigue dándole vueltas. -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2011, 04:47 AM Publicado: #17
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si, yo estaba pensando lo mismo, voy a seguir dandole vueltas --------------------

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 22 2011, 03:02 PM Publicado: #18
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 3 Sean enteros de la forma $TEX: 3$n$, 3$n$+1, 3$n$+2$ , tal que $TEX: $n$$ es entero Si tenemos que $TEX: $p$ = 3n + 1$ tenemos que $TEX: $n$$ no puede ser $TEX: {0,1}$ ya que p no sería primo, entonces $TEX: $n\ge 2$$ , entonces $TEX: $p$ + 2=3$n$ + 3$ el cual es claramente divisible por 3 por lo tanto no es primo. Si $TEX: $p$ = 3$n$ + 2$ entonces $TEX: $n$$ no puede ser $TEX: 0,1,2,3$ ya que $TEX: 2$p$ + 5$ no sería primo, entonces $TEX: $n\ge 4$$ Luego calculamos $TEX: 2$p$ + 5$ $TEX: 2$p$ + 5 = 2(3$n$+2)+5$ $TEX: 2$p$ + 5 = 6$n$ + 9$ el cual es claramente divisible por 3, por lo tanto no es primo. Si $TEX: $p$ = 3$n$$ nunca es primo a menos que $TEX: $n$ = 1$ , en ese caso $TEX: $p$ = 3$ , luego $TEX: $p$ + 2 = 5$ y $TEX: 2$p$ + 5 = 11$ , finalmente concluimos que el unico primo $TEX: $p$$ tal que $TEX: $p$ + 2, 2$p$ + 5$ sean primos es $TEX: $p$ = 3$ Saludos -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

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