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Prueba de Clasificación, Nivel Menor, 2010

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 01:05 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1} Determine cuál es el menor entero positivo por el que se debe multiplicar el numero 2010 para que quede un cuadrado perfecto.$ $TEX: \noindent \textbf{Problema 2}$ Ver P2, Nivel Mayor. $TEX: \noindent \textbf{Problema 3} Problema 3. Encuentre todos los números primos $p$ tales que $p + 2$ y $2p + 5$ son también primos.$ $TEX: \noindent \textbf{Problema 4} Encuentre todos los números naturales n tales que 1/n tenga una representación decimal finita.$ $TEX: \noindent \textbf{Problema 5} Puebe que todos los números de la forma $5^n$, con $n$ entero positivo, se pueden escribir como suma de dos cuadrados de números enteros.$ $TEX: \noindent \textbf{Problema 6} Sea ABCD un cuadrado de lado $a$, N es el punto medio del lado BC y M un punto en CD tal que $MC=2\cdot MD$. Sea P el punto de intersección de las rectas AM y DB, Q el punto de intersección de las rectas AN y BD. Calcular el área del pentágono MPQNC en términos de $a$.$ Mensaje modificado por Hamon el Aug 30 2010, 05:14 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 08:59 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Que pasaba si un vivales hacia esto: $TEX: Trabajamos en $\mathbb {Z}[i]$. Osea los numeros de la forma $a+bi,(a,b)\in \mathbb{Z},i^2=-1$. Es obvio que si $x,y\in \mathbb {Z}[i] \Rightarrow xy \in \mathbb {Z}[i]$. Si $z=a+bi$. Definimos $N(z)=a^2+b^2$. Es facil comprobar que $N(xy)=N(x)N(y)$. Como $N(1+2i)=5$ entonces $N((1+2i)^m)=5^m$, osea, existen enteros $a,b$ tales que $a^2+b^2=5^m$$ Mensaje modificado por xD13G0x el Aug 29 2010, 10:18 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 10:15 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Aug 29 2010, 09:59 AM) Que pasaba si un vivales hacia esto: $TEX: Trabajamos en $\mathbb {Z}[i]$. Osea los numeros de la forma $a+bi,(a,b)\in \mathbb{Z},i^2=1$. Es obvio que si $x,y\in \mathbb {Z}[i] \Rightarrow xy \in \mathbb {Z}[i]$. Si $z=a+bi$. Definimos $N(z)=a^2+b^2$. Es facil comprobar que $N(xy)=N(x)N(y)$. Como $N(1+2i)=5$ entonces $N((1+2i)^m)=5^m$, osea, existen enteros $a,b$ tales que $a^2+b^2=5^m$$ Debe ser $TEX: $i^2=-1$$ (sino, no puedes distinguir las coordenadas, por lo cual pierde un poco de sentido la definición de norma). De todas formas me tinca que fue un error de tipeo. Que bonita tu solución (aunque lamentablemente este razonamiento, típico de una Iberoamericana, no sería lo común de un joven de 15 años o menos ). Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

berrocal36 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 11:48 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 8-June 08 Miembro Nº: 26.534 Sexo:	te ekivocaste la 4 dice algo asi cual es el minimo valor de n para que 1/n sea un decimal finito y n es un entero positivo este segun yo eran secuencias 1 luego 2 - 4 - 8 y el doble y el doble para la otra secuencia se toma el 1 y se multiplica x 5 (1/2 y x 10) ahi seria 5-10-20-40 luego el 5x5=25 25-50 y haci y la 5 es de 5^n se representa con la suma de 2 cuadrados k yo lo hice como con una secuencia 5^1=1^2 + 2^2 5^2=4^2+3^2 5^3=125=5^2+10^2 y esos numeros(5 y 10) son los de 5^1 (1 y 2) por 5 5^4=625=20^2 + 15^2 (4 x 5 y 3 x5) la 6 decia algo asi cuadrado ABCD con lado a se toma un punto (M) entre C y D tal que la recta MC sea 1/2 de MD un punto medio (p)entre BC, luego el punto de interseccion de la recta AM y DB (O)(no me acuerdo k letra era) y el punto de interseccion de AP y DB (T)(tampoco me acuerdo k letra era) cual es el area de la figura OTPCM con respecto a a Mensaje modificado por berrocal36 el Aug 29 2010, 11:57 AM

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:15 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	gracias por el aporte berrocal36...seguire modificando el mensaje con los aportes , y al final le intentare agregar el formato wque siempre se usa en fmat para las ONM. Salu2!! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:23 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 29 2010, 02:05 AM) 1. $TEX: Determine cuál es el menor entero positivo por el que se debe multiplicar el numero 2010 para que quede un cuadrado perfecto.$ Notemos que $TEX: $$2010=2\cdot 3\cdot 5 \cdot 67$$$ , por lo tanto ningún primo tiene un exponente par, es decir habría que multiplicar por 2010 al 2010 para que quede un cuadrado perfecto ya que ahí todos los primos quedarían con exponente par, es decir, al tirar la raíz quede un entero. Saludos

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:25 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Segun lo que yo tengo (la Prueba Nivel Menor, 2da Parte) dice así: Problema 4. Encuentre todos los números naturales n tales que 1/n tenga una representación decimal finita. Problema 5. Puebe que todos los números de la forma $TEX: $5^n$$ , con n entero positivo, se pueden escribir como suma de dos cuadrados de números enteros. Problema 6. Sea ABCD un cuadrado de lado a, N es el punto medio del lado BC y M un punto en CD tal que $TEX: $MC=2\cdot MD$$ . Sea P el punto de intersección de las rectas AM y DB, Q el punto de intersección de las rectas AN y BD. Calcular el área del pentágono MPQNC en términos de a. Saludos PD: La otra parte se me perdió -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:46 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 1: $2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$, luego todos los exponentes de su factorizacion a numeros primos son impares, y para que $2010n$ sea un cuadrado perfecto debe ocurrir, que los exponestes de su factorizacion a numeros primos sean pares, luego el menor $n$ que cumple lo requerido es 2010<br /><br />Problema 3: Si $p$ es de la forma $3k$, la unica solucion posible es $p=3$, por que para cualquier valor mayor, es evidente que $3\|p$ y por lo tanto no seria primo. Si $p$ es de la forma $3k+1$, $p+2$ es de la forma $3k+3=3(k+1)$, lo que ya no es primo puesto que es divisible por 3. Si $p$ es de la forma $3k+2$, $2p+5$ es de la forma $3(2k+3)$, lo que ya no es primo. Luego la unica solucion es $p=3$.<br /><br />Problema 4: Si $\dfrac {1}{n}$ tiene una representacion decimal finita, entonces existen $m,s$ naturales tales que $\dfrac {1}{n}=\dfrac {m}{10^s}\rightarrow \dfrac {10^s}{n}=m\rightarrow n\|10^s$, luego n es de la forma $2^p\cdot 5^q$ para todo $p,q$ pertenecientes a los cardinales, puesto que podemos hacer $s$ tan grande como sea necesario.<br /><br />Problema 5: Si $n$ es par basta hacer $5^n=(5^{\dfrac {n-2}{2}}\cdot 3)^2+(5^{\dfrac {n-2}{2}}\cdot 4)^2$ para expresar $5^n$ como suma de cuadrados. Si $n$ es impar, basta notar que $5^n=(5^{\dfrac {n-1}{2}})^2+(5^{\dfrac {n-1}{2}}\cdot 2)^2$. Luego $5^n$ siempre es expresable como suma de cuadrados de numeros enteros.<br />$ Pd: Fail el problema 2, y despues posteo mi solucion al 6 Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Aug 29 2010, 12:51 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 01:26 PM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para el P5 yo lo ví y lo primero que pense fue en números que son sumas de cuadrados de números enteros (por supuesto la agradable solución de berrocal36 es probablemente la que se esperaba de un joven del Nivel Menor). Por ejemplo 13 es uno de estos números, pues $TEX: $13=2^2+3^2$$ , en cambio 7 no lo es, pues no puede expresarse como $TEX: $a^2+b^2$$ (con a y b enteros). Una propiedad "muy simpática" de estos números es que el producto de 2 números de este "tipo" genera otro número de este tipo. Demostración En efecto, si $TEX: $\alpha=a^2+b^2$$ y $TEX: $\beta=c^2+d^2$$ (con a,b,c,d enteros), entonces $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\alpha\cdot \beta &=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\<br />&=(ab)^2+(cd)^2+(ac)^2+(bd)^2\\<br />&=(ab)^2+2abcd+(cd)^2+(ac)^2-2abcd+(bd)^2\\<br />&=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ donde $TEX: $ab+cd$$ , $TEX: $ac-bd$$ serán también enteros, pues a,b,c,d lo son. Como 5 es uno de estos números ( $TEX: $5=2^2+1^2$$ ), y $TEX: $5^n$$ es el producto de muchos números de este tipo, entonces se concluye que también será un número de este tipo. Saludos PD: El mismo argumento es aplicable al P4 del Nivel Mayor, agregándole un $TEX: $0^2$$ (el $TEX: $n+2$$ de esa pregunta no cumplía ningún rol relevante). -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 09:21 PM Publicado: #10
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Y acá van los ultimos 2 problemas que faltaban en los Enunciados. Problema 2. Idem a P2 del Nivel Mayor. Problema 3. Encuentre todos los números primos p tales que p + 2 y 2p + 5 son también primos. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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