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Prueba de Clasificación Nivel Mayor, 2010

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 11:15 PM Publicado: #11
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA Problema 6: En el interior de un triángulo equilátero de lado $TEX: $$1$$$ se encuentran dos circunferencias tangentes entre si y cada una de estas tangentes al menos a dos de los lados del triángulo. Demostrar que la suma de los radios de estas circunferencias es mayor o igual a $TEX: $$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$$$ . ¿En qué casos se alcanza la igualdad? Para la P6, aqui va un "bosquejo" de solución, dejando al lector que justifique los detalles. P6.PNG ( 25.25k ) Número de descargas: 24 En la figura, sea ABC un triángulo equilátero de lado 1, y considere dos circunferencias de centros $TEX: $O_1$$ y $TEX: $O_2$$ (de radios $TEX: $r_1$$ y $TEX: $r_2$$ ) que cumplen los requisitos del enunciado (eventualmente, alguna podria ser tangente a los 3 lados). Sean D y E puntos de tangencia (por lo mismo, los ángulos de 90º). Se traza también $TEX: $O_1F$$ perpendicular a $TEX: $O_2E$$ . Aqui van los pasos principales de la demostración: 1) Probar que $TEX: $\measuredangle O_1BD=30º$$ y analogamente para $TEX: $\measuredangle O_2CE$$ (Fundamento por Congruencia de Triángulos). 2) Notar que $TEX: $O_1BD$$ en un triángulo 30º-60º-90º (por lo que $TEX: $BD=r_1\sqrt{3}$$ ). Análogamente concluir que $TEX: $EC=r_2\sqrt{3}$$ ). 3) $TEX: $O_1FED$$ es un rectángulo, por lo que $TEX: $FE=r_1$$ . Así $TEX: $O_2F=r_2-r_1$$ . 4) $TEX: $O_1O_2=r_1+r_2$$ . 5) Aplicando Pitágoras en el triángulo $TEX: $O_1O_2F$$ se tiene que $TEX: $O_1F^2+(r_2-r_1)^2=(r_1+r_2)^2\implies O_1F=2\sqrt{r_1r_2}$$ . 6) $TEX: $O_1F=DE=2\sqrt{r_1r_2}$$ . 7) Recordar que $TEX: $(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_2})^2\ge 0$$ , por lo que se concluye que $TEX: $2\sqrt{r_1r_2}\le r_1+r_2$$ (notando que la igualdad solo se cumple si $TEX: $(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_2})^2=0$$ , o sea $TEX: $r_1=r_2$$ ). 8) Finalmente $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />1&=BC\\<br />&=r_1\sqrt{3}+2\sqrt{r_1r_2}+r_2\sqrt{3}\\<br />&=(r_1+r_2)\sqrt{3}+2\sqrt{r_1r_2}\\<br />&\le (r_1+r_2)\sqrt{3}+r_1+r_2\le (r_1+r_2)(\sqrt{3}+1)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Por lo tanto $TEX: $r_1+r_2\ge \dfrac{1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$$ (lograndose la igualdad solo si $TEX: $r_1=r_2$$ , por el punto 7). Saludos PD: Sin perdida de generalidad, dibujé $TEX: $r_1\le r_2$$ PD: Ojalá alguien postee la Prueba del Nivel Menor -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:04 AM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	pucha ahora que pones los detalles principales del de Geometría, Kenshin, noto que no escribi que la figura era un rectangulo ,y llegue y puse que los trazos medina lo mismo sin justificarlo XD Y ta,mpoco explique que asumia sin perdida de generalidad que r1>=r2...lo dibuje asi nomas XD pero nunca lo use...ojala no afecte, pues no perdi generalidad En el de los prinos no se me pocurrio matar para mayores ke 10, sin embargo deje conjeturado que se llegaba a nros terminados en 5 (queentonces no eran primos), pero no logre demostrar que SIEMPRE... El p5 a mi juicio fue el mas dificil...habiendo sacado seguro el 1, el 4 si entendi bien la inducción, y en los demas 3 picotie bastante/mucho, me preparo psicologicamente para clasificar y tratare de entrenar y dejar la PSU para noviembre nomas XD, quiero sacar el maximo provecho a mi ultimo año de olimpiadas EDIT: Ahora que lo observo bien...me falto justificar tambien un par de cosas mas que "tomé por sabidas por el lector" XDD...ojala no desuenten puntaje por eso :S Saludos, y cuenten como le fue al resto . Aporto con una solucion ~~humana xD~~ mas elemental que la mencionada por makmat: Asumamos, sin perdida de generalidad, que $TEX: $a\ge b>0$$ . Luego, $TEX: $a-b\ge 0$$ . Y además, $TEX: $a^{2011}\ge b^{2011}$$ por lo que $TEX: $a^{2011}-b^{2011}\ge 0$$ . Como estamos hablando de numeros positivos, podemos multiplicar estas 2 desigualdades miembro a miembro, sin alterar el sentido de éstas: $TEX: $(a^{2011}-b^{2011})(a-b)\ge 0$ \\ <br /> $ a^{2012}-ab^{2011}-a^{2011}b+b^{2012}\ge 0$ \\ <br /> $ a^{2012}+b^{2012}\ge ab^{2011}+a^{2011}b=ab(b^{2010}+a^{2010})$$ Luego, como a y b son positivos, entonces la suma de sus potencias 2010-esimas tambien lo será...podemos dividir la desigualdad por esta suma, sin alterar el sentido de la desigualdad... $TEX: $\frac{a^{2012}+b^{2012}}{a^{2010}+b^{2010}}\ge ab$$ Demostrando lo pedido. =D Ojalá esté bien. Mensaje modificado por Hamon el Aug 29 2010, 01:17 AM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

vaughan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:30 AM Publicado: #13
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 29-August 10 Miembro Nº: 76.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	que lata ver estos ejercicios de nuevo, andaba terrible desmotivado cuando empece xDD pero al menos el 1,3,5 y 6 parece q los tengo buenos Mensaje modificado por vaughan el Aug 29 2010, 12:31 AM --------------------

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 10:03 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA Problema 2: Considere un tablero de ajedrez de $TEX: $$8x8$$$ . Se define una trayectoria Alba a cualquier movimiento que contenga $TEX: $$8$$$ casillas blancas, una por fila, que se tocan en un vértice. Determine todas las posibles trayectorias albas que se pueden construir en el tablero. Asumamos sin pérdida de generalidad que la casilla superior izquierda está pintada de negra. Sea $TEX: $A\in \mathcal {M}_{8\times 8} \left (\mathbb {R}\right) $$ una matriz tal que a cada entrada $TEX: $a_{i,j}$$ se le asigne un número mediante el siguiente algoritmo. $TEX: $a_{i,j}=0$$ si $TEX: $i+j$$ es par. $TEX: $a_{1,j}=1$$ si $TEX: $j$$ es par. Si $TEX: $2\leq i\leq 8$$ y $TEX: $2\leq j\leq 7$$ entonces $TEX: $a_{i,j}=a_{i-1, j-1}+a_{i-1,j+1}$$ $TEX: $a_{i,1}=a_{i-1,2}$$ si $TEX: $i$$ es par. $TEX: $a_{i,8}=a_{i-1,7}$$ si $TEX: $i$$ es impar. Si contamos cuantas trayectorias albas poseen como extremo de inicio a las casillas blancas de la primera fila, estaremos listos. Es precisamente aquí donde la matriz descrita toma importancia. Dada una casilla $TEX: $(i,j)$$ (es decir, viviendo en la $TEX: $i$$ -ésima fila y $TEX: $j$$ -ésima columna), la cantidad de trayectorias albas que pasan por esta es igual a la suma de la cantidad de trayectorias albas que pasan por las casillas que comparten un vértice con $TEX: $(i,j)$$ de la fila $TEX: $i-1$$ -ésima y por ende debemos sumar los elementos de la ultima fila para obtener el total de trayectorias albas. La matriz $TEX: $A$$ definida por el algoritmo es la siguiente: $TEX: $<br />\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\<br /> 0 & 3 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 2 \\<br /> 3 & 0 & 7 & 0 & 8 & 0 & 6 & 0 \\<br /> 0 & {10} & 0 & {15} & 0 & {14} & 0 & 6 \\ <br /> {10} & 0 & {25} & 0 & {29} & 0 & {20} & 0 \\<br /> 0 & {35} & 0 & {54} & 0 & {49} & 0 & {20} \\<br /> {35} & 0 & {89} & 0 & {103} & 0 & {69} & 0 \\<br /> \end{array} } \right)$$ La suma de las entradas de la ultima fila de la matriz es $TEX: $35+89+103+69=296$$ , por lo tanto hay $TEX: $296$$ trayectorias albas. $TEX: $\blacksquare$$ Creo que saqué 5/6. Los problemas 2,3,6 me gustaron (en especial el 6, mi solución era tal cual la expuso Kenshin). Encontré la prueba más entrete que otros años. Saludos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:* Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 10:21 AM Publicado: #15
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ Aug 29 2010, 11:03 AM) Asumamos sin pérdida de generalidad que la casilla superior izquierda está pintada de negra. Sea $TEX: $A\in \mathcal {M}_{8\times 8} \left (\mathbb {R}\right) $$ una matriz tal que a cada entrada $TEX: $a_{i,j}$$ se le asigne un número mediante el siguiente algoritmo. $TEX: $a_{i,j}=0$$ si $TEX: $i+j$$ es par. $TEX: $a_{1,j}=1$$ si $TEX: $j$$ es par. Si $TEX: $2\leq i\leq 8$$ y $TEX: $2\leq j\leq 7$$ entonces $TEX: $a_{i,j}=a_{i-1, j-1}+a_{i-1,j+1}$$ $TEX: $a_{i,1}=a_{i-1,2}$$ si $TEX: $i$$ es par. $TEX: $a_{i,8}=a_{i-1,7}$$ si $TEX: $i$$ es impar. Si contamos cuantas trayectorias albas poseen como extremo de inicio a las casillas blancas de la primera fila, estaremos listos. Es precisamente aquí donde la matriz descrita toma importancia. Dada una casilla $TEX: $(i,j)$$ (es decir, viviendo en la $TEX: $i$$ -ésima fila y $TEX: $j$$ -ésima columna), la cantidad de trayectorias albas que pasan por esta es igual a la suma de la cantidad de trayectorias albas que pasan por las casillas que comparten un vértice con $TEX: $(i,j)$$ de la fila $TEX: $i-1$$ -ésima y por ende debemos sumar los elementos de la ultima fila para obtener el total de trayectorias albas. La matriz $TEX: $A$$ definida por el algoritmo es la siguiente: $TEX: $<br />\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\<br /> 0 & 3 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 2 \\<br /> 3 & 0 & 7 & 0 & 8 & 0 & 6 & 0 \\<br /> 0 & {10} & 0 & {15} & 0 & {14} & 0 & 6 \\ <br /> {10} & 0 & {25} & 0 & {29} & 0 & {20} & 0 \\<br /> 0 & {35} & 0 & {54} & 0 & {49} & 0 & {20} \\<br /> {35} & 0 & {89} & 0 & {103} & 0 & {69} & 0 \\<br /> \end{array} } \right)$$ La suma de las entradas de la ultima fila de la matriz es $TEX: $35+89+103+69=296$$ , por lo tanto hay $TEX: $296$$ trayectorias albas. $TEX: $\blacksquare$$ Creo que saqué 5/6. Los problemas 2,3,6 me gustaron (en especial el 6, mi solución era tal cual la expuso Kenshin). Encontré la prueba más entrete que otros años. Saludos. Solo como un comentario, algunas personas dijeron que era el doble de esta cantidad, si involucra el sentido en que la recorres. Será una pregunta para el debate. ¿Que opinas? (yo creo que validarán las 2 como correctas). Saludos PD: A mi también me gusto mucho mas que la de otros años, pero creo personalmente que será una masacre masiva (aunque muchos alumnos salieron diciendo "menti mucho, chamulle harto, no vi una, pero me entretuve", y eso para mi es algo muy importante , pues a pesar de ser problemas no elementales, dejaban que el alumno pudiera intentar hacer cosas). PD: Edite lo que escribi recién (solo puse lo que me comentaron, porque este fue el único problema que me dio flojera hacer porque habia que sumar mucho , ahora revise tu razonamiento y solo es válido lo que dejé). -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat* (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 11:05 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 29 2010, 02:04 AM) Saludos, y cuenten como le fue al resto . Aporto con una solucion ~~humana xD~~ mas elemental que la mencionada por makmat: Asumamos, sin perdida de generalidad, que $TEX: $a\ge b>0$$ . Luego, $TEX: $a-b\ge 0$$ . Y además, $TEX: $a^{2011}\ge b^{2011}$$ por lo que $TEX: $a^{2011}-b^{2011}\ge 0$$ . Como estamos hablando de numeros positivos, podemos multiplicar estas 2 desigualdades miembro a miembro, sin alterar el sentido de éstas: $TEX: $(a^{2011}-b^{2011})(a-b)\ge 0$ \\ <br /> $ a^{2012}-ab^{2011}-a^{2011}b+b^{2012}\ge 0$ \\ <br /> $ a^{2012}+b^{2012}\ge ab^{2011}+a^{2011}b=ab(b^{2010}+a^{2010})$$ Luego, como a y b son positivos, entonces la suma de sus potencias 2010-esimas tambien lo será...podemos dividir la desigualdad por esta suma, sin alterar el sentido de la desigualdad... $TEX: $\frac{a^{2012}+b^{2012}}{a^{2010}+b^{2010}}\ge ab$$ Demostrando lo pedido. =D Ojalá esté bien. somos dos!! tbm lo hice asi, fue lo unico factible que se me ecurrio en ese momento xDDD -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

PacmaN!¡ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 11:22 AM Publicado: #17
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 28-August 10 Miembro Nº: 76.196	Alguien haga el factorial de m! + n! = mⁿ me dio (2,2) y (2,3) pero encontré raro que sea tan fácil, demás pasé algo por alto. Mensaje modificado por PacmaN!¡ el Aug 29 2010, 11:22 AM

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:05 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Fatal maldito, sabia que planteando una bonita notacion sadría bueno ojala me salven algun puntito por estudiar casos de 2x2, 4x4 etc igual no habría podido hacer una interpretacion con matrices, despues vere la solucion oficial se demoran como un mes en darl os clasificados cierto?? yo cacho q sake entre 25 (pesimista) y 45 (optimista) puntos Tambien me interesa mucho ver el de los factoriales, tb encongtre esas 2 soluciones pero no más, igual deberian dar com 1 punto por sacar esas 2 soluciones jajaj Kenshin, sabes si descuentan cuadno uno escribe cosas que no pedían? Onda, sin querer sacaste una cosa más, que despues no usaste XD. Saludos! Y Fatal, tambien me parecio entretenida la prueba, y Kenshin, confiare en tus palabras de masacre . -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Ryuuzaki Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:20 PM Publicado: #19
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 24-September 08 Desde: Rancagua!! Miembro Nº: 34.885 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 29 2010, 12:05 PM) Saludos! Y Fatal, tambien me parecio entretenida la prueba, y Kenshin, confiare en tus palabras de masacre . si hay "masacre" es bueno?? a mi el P2 me dió el doble u.u xD Mensaje modificado por Ryuuzaki el Aug 29 2010, 12:25 PM

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2010, 12:34 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Ryuuzaki @ Aug 29 2010, 01:20 PM) si hay "masacre" es bueno?? a mi el P2 me dió el doble u.u xD si hay masacre, significaría que a la gente que preparé le fue bastante bien, por eso me alegra. No es nada contra nadie xD, es por sentirme conforme con mi aporte me interesaría ver como lo sacaste tú, pues F.C. usó un método avanzadísimo (XD) PD Yo creo que una Trayectoria Alba incluye ambos sentidos...y no solo uno y consideararlos por separado xD. Son "vías", caminos. De todas maneras, si se especifica bien esa consideracion de orden, demas que les dan el mismo puntaje a los que lo hayan sacado. PD2: Una compañera que fue, contó todos los caminos, y parece que estuvo cerca (XDD) -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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