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Prueba de Clasificación Nivel Mayor, 2010

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 08:31 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	22ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Pruebe que si $TEX: $$a,b$$$ son números reales positivos entonces $TEX: $$\dfrac{a^{2012}+b^{2012}}{a^{2010}+b^{2010}}\ge ab$$$ Problema 2: Considere un tablero de ajedrez de $TEX: $$8x8$$$ . Se define una trayectoria Alba a cualquier movimiento que contenga $TEX: $$8$$$ casillas blancas, una por fila, que se tocan en un vértice. Determine todas las posibles trayectorias albas que se pueden construir en el tablero. Problema 3: Encuentre todos los números primos $TEX: $$p$$$ tales que $TEX: $$p^{2}-3p+7$$$ y $TEX: $$p^{2}-7p+17$$$ son también primos Segunda Prueba Problema 4: Pruebe que para todo entero $TEX: $$m$$$ , los números de la forma $TEX: $$5^{m+2}$$$ se pueden escribir como suma de tres cuadrados de números enteros. Problema 5: Determine todos los pares $TEX: $$(m,n)$$$ de números enteros positivos que satisfagan la ecuación $TEX: $$m!+n!=m^{n}$$$ Problema 6: En el interior de un triángulo equilátero de lado $TEX: $$1$$$ se encuentran dos circunferencias tangentes entre si y cada una de estas tangentes al menos a dos de los lados del triángulo. Demostrar que la suma de los radios de estas circunferencias es mayor o igual a $TEX: $$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$$$ . ¿En qué casos se alcanza la igualdad? Mensaje modificado por EnemyOfGod286 el Aug 28 2010, 08:34 PM

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 08:32 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3 Primero, para no tener problemas de desigualdades veremos el comportamiento de $TEX: $$p^{2}-3p+7$$$ y $TEX: $$p^{2}-7p+17$$$ $TEX: $$p^{2}-3p+7\ge 0$$$ Discriminante: $TEX: $$3^{2}-4\cdot 7=9-21=-12$$$ , luego para cualquier valor de $TEX: $$p$$$ , la expresión sera positiva. Es decir siempre se cumple que $TEX: $$p^{2}+7>3p$$$ $TEX: $$p^{2}-7p+17$$$ Discriminante: $TEX: $$7^{2}-4\cdot 17=49-68=-19$$$ por lo que tambien para cualquier valor de $TEX: $$p$$$ la expresion es positiva. Por lo que siempre se cumple que $TEX: $$p^{2}+17>7p$$$ Luego vemos que los primos mayores que 10 terminan en 1,3,7,9 luego vemos las terminanciones de estos en ambas expresiones. Cuando p termina en 1,3,7,9, $TEX: $$p^{2}$$$ termina en 1,9,9,1, por lo que $TEX: $$p^{2}+7$$$ termina en 8,6,6,8 Cuando p termina en 1,3,7,9 $TEX: $$3p$$$ termina en 3,9,1,7 Luego $TEX: $$p^{2}-3p+7$$$ termina en 5,7,5,1 Por lo que los primos que terminan en 1 y en 7 no nos sirven Vemos que ocurre con los que terminan en 3 y 9 en la otra expresion Cuando p termina en 3,9 $TEX: $$p^{2}$$$ termina con 9,1, luego $TEX: $$p^{2}+17$$$ termina en 6,8 Cuando p termina en 3,9 $TEX: $$7p$$$ termina en 1,3 Por lo que $TEX: $$p^{2}-7p+17$$$ termina en 5,5 Por lo que descartamos todos los primos mayores que 10 y las soluciones únicas son 2,3,5 dando los primos (5,7);(7,5);(17,7) Mensaje modificado por EnemyOfGod286 el Aug 28 2010, 08:53 PM

PacmaN!¡ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 08:43 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 28-August 10 Miembro Nº: 76.196	Yo la hice...,la 2) me dio 296 la 3) me dio 2 y 3, la 5 (2,2) y (2,3), la 6) que los circulos debían ser eactamente iguales, la respuesta de las otras es muy larga...

Aheit Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:39 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 143 Registrado: 6-February 08 Desde: desde aquí Miembro Nº: 15.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: P.4)$ Estaba en plena demostración inductiva cuando me iluminé y dije "que tal si" Para $TEX: $$m=2k$$$ entonces $TEX: $$5^{2k+2}=(5^{k+1})^{2}+0^{2}+0^{2}$$$ Luego dije mmm y que pasa si es impar? entonces para $TEX: $$m=2k+1$$$ entonces $TEX: $$5^{2k+3}=55^{2k+2}=(5^{k+1})^{2}(1^{2}+2^{2})=(5^{k+1})^{2}+(25^{k+1})^{2}+0^{2}$$$ Ahí me reí solo un rato y segui la demostracion por induccion, despues puse como solucion alternativa eso de arriba xDDDD Mensaje modificado por Aheit el Aug 28 2010, 09:40 PM -------------------- \|Ente Inmiscible\|

Joacko Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:45 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 160 Registrado: 27-May 09 Desde: Santiago Miembro Nº: 52.384 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	^Yo igual estaba con la demostracion inductiva y me ilumine con eso!! xD!! wenisima, pero yo borre la inductiva y puse esa, que me parecia mas simple, solo que eso de que 0 es cuadrado perfecto no lo usé, me parecio muy sucio, lo hice con 125 = 100 + 16 + 9 y 625 = 256 + 144 + 225 Mensaje modificado por Rurouni Kenshin el Aug 28 2010, 11:49 PM

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:46 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Joacko @ Aug 28 2010, 10:45 PM) ^Yo igual estaba con la demostracion inductiva y me ilumine con eso!! xD!! wenisima, pero yo borre la inductiva y puse esa, que me parecia mas simple, solo que eso de que 0 es cuadrado perfecto no lo usé, me parecio muy sucio, lo hice con 125 = 100 + 16 + 9 y 625 = 296 + 144 + 225 256 no 296 saludos

Joacko Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:47 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 160 Registrado: 27-May 09 Desde: Santiago Miembro Nº: 52.384 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(EnemyOfGod286 @ Aug 28 2010, 10:46 PM) 256 no 296 saludos Error de tipeo xD hiciste algo parecido? El P1 lo encontre botado, tres casos a=b, a>b y b>a y listo

Aheit Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:48 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 143 Registrado: 6-February 08 Desde: desde aquí Miembro Nº: 15.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Joacko @ Aug 28 2010, 10:45 PM) ^Yo igual estaba con la demostracion inductiva y me ilumine con eso!! xD!! wenisima, pero yo borre la inductiva y puse esa, que me parecia mas simple, solo que eso de que 0 es cuadrado perfecto no lo usé, me parecio muy sucio, lo hice con 125 = 100 + 16 + 9 y 625 = 296 + 144 + 225 Esque elñ problema decía "como la suma de tres cuadrados de numeros enteros" y el 0 pertenece a los $TEX: $$Z$$$ -------------------- \|Ente Inmiscible\|

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 10:25 PM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA Problema 3: Encuentre todos los números primos $TEX: $$p$$$ tales que $TEX: $$p^{2}-3p+7$$$ y $TEX: $$p^{2}-7p+17$$$ son también primos Para la P3, aqui va una visión alternativa. Para p=2, 3 y 5 funciona (era cosa de ir probando). Para p primo, con $TEX: $p\ge 7$$ , demostraremos que alguno de los otros dos números será un múltiplo de 5 mayor a 5, por lo cuál no será primo. Demostración Para ello notemos que: $TEX: $p^2-3p+7=(p-1)(p-2)+5>5$$ y que $TEX: $p^2-7p+17=(p-3)(p-4)+5>5$$ Así, por ejemplo, para p fuera 13, entonces $TEX: ${\color{red}(p-3)}(p-2)+5$$ será divisible en 5 (se puede factorizar por 5, pues $TEX: ${\color{red}p-3}=10=5\cdot 2$$ ). Si p fuera 31, entonces $TEX: ${\color{red}(p-1)}(p-2)+5$$ será divisible por 5 (se puede factorizar por 5, pues $TEX: ${\color{red}p-1}=30=5\cdot 6$$ ). La clave es que "afortunadamente" estan todos los "parentesis" que nos gustaría tener, o sea (p-1), (p-2), (p-3) y (p-4). Quién nos podría arruinar la fiesta con nuestros "parentesis", sería por ejemplo el p=45 (pero recordamos que la condición es que p fuera primo, por lo cual el único "primo" terminado en 5, sería el mismo 5, el cual analizamos al comienzo). Saludos PD: Por supuesto la solución es "informal", pero es suficiente para que el alumno pueda entenderla (y esa es la idea ). -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 10:37 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una forma sin piedad de matar el P1: Aplique Muirhead con vectores (2012,0)>(2011,1) Saludos. PD: Era por si querian una solución corta. xD -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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