ecuación 1 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Álgebra > Problemas Resueltos

2 Páginas:

1 2 >

Reply to this topic

Start new topic

ecuación 1

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2010, 08:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Demuestre que para todo $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ la ecuación $TEX: $a^2+b^2=5^n$$ tiene solución en los enteros. Se pide más de una solución Suerte mañana a todos =) -------------------- blep

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2010, 09:09 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Ruego que me ayudes si malinterprete algo Vemos que para n=1, tomamos a=1, b=2 y se cumple Luego, por proceso de induccion hacemos: $TEX: $ a^{2}+b^{2}=5^{n}/\times 4$ \\ <br /> $ 4a^{2}+4b^{2}=5^{n}\times (5-1)=5^{n+1}-5^{n}=5^{n+1}-(a^{2}+b^{2})$ \\ <br /> $ 5(a^{2}+b^{2})=5^{n+1}$ \\$ Luego, si la ecuacion tiene solucion natural para n, lo tendra para n+1, dada esta factorizacion mostrada Saludos -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2010, 09:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sabia que se podia hacer por ind sobre "n" !!!!!!! Hamon me venciste, y puramente por no tener papel a mano :$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2010, 09:13 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lo que debes demostrar si es que lo haces por inducción es que $TEX: $5^{n+1}$$ también es la suma de dos cuadrados perfectos. El argumento es "inductivo" pero no es usar inducción directamente aunque al parecer igual se puede hacer asi. saludos -------------------- blep

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2010, 09:17 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(snw @ Aug 27 2010, 10:13 PM) Lo que debes demostrar si es que lo haces por inducción es que $TEX: $5^{n+1}$$ también es la suma de dos cuadrados perfectos. El argumento es "inductivo" pero no es usar inducción directamente aunque al parecer igual se puede hacer asi. saludos xDD interesante si se pudiese hacer asi gracias por resoponderme, si encntraba medio rfara la induccion per olo postee igual para aprender:D vere que afinarle Saludos y gracias! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 12:25 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	holi Separemos el problema en dos casos: Si n es par, notar que: $TEX: $3^2+4^2=5^2$$ multiplicamos esto por $TEX: $5^2$$ : $TEX: $(3 \cdot 5)^2 + (4\cdot 5)^2 = 5^4$$ si lo multiplicamos sucesivamente, vamos a obtener todos los n pares Si n es impar, es lo mismo que lo anterior, pero multiplicando por $TEX: $5^2$$ lo sigte. : $TEX: $2^2+1^2=5^1$$ Si multiplicamos, queda $TEX: $\implies (2 \cdot 5)^2 + (1\cdot 5)^2 = 5^3$$ y así para todos los n impares saludos Mensaje modificado por p.j.t el Aug 28 2010, 12:25 AM -------------------- asdf

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 08:22 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Esto lo podemos generalizar un poco de la siguiente forma CITA $TEX: Sea $A=\{r\in \mathbb {N}\| \exists\, (a,b)\in \mathbb {Z}^2: a^2+b^2=r\}$ . Entonces $\forall m\in \mathbb {N}$, $k\in A$ se cumple que $k^m\in A$.$ $TEX: \textbf {Demostración:} Para $n=1$, suponga que $(x,y)\in\mathbb {Z}^2: x^2+y^2=k$ Definamos las secuencias $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ e $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ de la siguiente forma:$ $TEX: $x_1=x$, $x_{n+1}=y\cdot x_n-x\cdot y_n$$ $TEX: $y_1=y$, $y_{n+1}=x\cdot x_n+y\cdot y_n$$ $TEX: Para $m=1$ claramente nuestro argumento funciona. Suponga que para cierto $m$ también funciona, es decir, $x_{m}^2+y_{m}^2=k^m$. Entonces para $m+1$: $$x_{m+1}^2+y_{m+1}^2=(y\cdot x_m-x\cdot y_m)^2+(x\cdot x_m+y\cdot y_m)^2$$$$=y^2x_m^2-2xyx_my_m+x^2y_m^2+x^2x_m^2+2xyx_my_m+y^2y_m^2$$$$=(x^2+y^2)(x_m^2+y_m^2)$$$$=k^{m+1}$$<br /><br />Finalizando la inducción y demostrando lo conjeturado. $\blacksquare$$ Poniendo $TEX: $k=5$$ obtenemos lo preguntado por snw. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:16 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	el problema es un caso super hiper particular del siguiente hecho: Si un numero tiene todos los exponentes pares de sus primos de la forma 4k+3, entonces se puede escribir como a²+b². Mensaje modificado por xD13G0x el Aug 28 2010, 09:17 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 12:55 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien ambos La idea era ver simplemente que la multiplicación de dos números representantes como suma de cuadrados también lo es, con esto se podía generalizar como lo hizo ricardo. Notar que esto también es válido para 4 cuadrados. Supongamos que $TEX: $(x_0,y_0)$$ es tal que $TEX: $x_0^2+y_0^2=5^n$$ notemos que $TEX: $(5x_0,5y_0)$$ es solución de la ecuación para $TEX: $n+2$$ . Bastaría ver que para $TEX: $n=1$$ y $TEX: $n=2$$ es soluble y estamos listos saludos -------------------- blep

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2010, 09:29 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(snw @ Aug 27 2010, 09:29 PM) Demuestre que para todo $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ la ecuación $TEX: $a^2+b^2=5^n$$ tiene solución en los enteros. Se pide más de una solución Suerte mañana a todos =) ¿Pudiste ver la prueba de la olimpiada nacional de hoy (nivel menor)? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

« Posterior · Problemas Resueltos · Anterior »

2 Páginas:

1 2 >

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 6th March 2025 - 09:35 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.