Prueba de Selección Chilena 2010

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Prueba de Selección Chilena 2010, Olimpiada Iberoamericana de Matematica.

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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2010, 11:27 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Prueba de Selección Chilena Olimpiada Iberoamericana de Matematica 2010 18 de Agosto de 2010 $TEX: \textbf {Problema 1.} Determine todos los valores de $n$ para los cuales se puede cubrir un cuadrado de lado $n$ con piezas formadas por $9$ cuadrados de lado $1$ como muestra la figura siguiente:$ $TEX: \textbf {Problema 2.} Considere $5$ puntos en el plano, de manera tal que no hay $3$ de ellos colineales. Demuestre que existe un cuadrilátero convexo cuyos vértices están en $4$ de estos puntos.$ $TEX: \textbf {Problema 3.} Definamos $p(n)$ como la cantidad de puntos de coordenadas $(a,b)$ con $a,b$ números enteros, tal que $a^2+b^2\leq n^2$. Demuestre que $$p(n)<\dfrac{16}{5}n(n+4)$$$ $TEX: \textbf {Tiempo: 2 horas y 30 minutos}$ Dado ciertos percances en la sede UACH, desearía haber tenido 1 hora mas -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2010, 03:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1 Como cada pieza ocupa 9 cuadrados, la cantidad total de cuadrados debe ser multiplo de 9, osea, n es multiplo de 3. Es facil rellenar un cuadrado de lado 6 con las piezas, asi que si n es multiplo de 6, si se puede rellenar el cuadrado. Ahora solo resta probar que para n multiplo de 3 pero impar no se puede rellenar. Para esto coloreamos el cuadrado como tablero de ajedrez. Hay (n^2-1)/2 cuadrados blancos. Cada pieza ocupa 3 o 6 cuadrados blancos, osea que cada pieza ocupa un multiplo de 3 de cuadrados blancos, osea que no hay manera que las piezas cubran exactamente (n^2-1)/2 cuadrados blancos, pues este numero no es multiplo de 3. Asi que la respuesta son los numeros multiplos de 6. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2010, 05:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 2: Llamemos a los puntos $A,B,C,D,E$. Suponganos que $ABCD$ es concavo (por que en el caso de ser convexo, este seria el cuadrilatero pedido). Asumamos sin perdida de generalidad que $D$ se encuentra dentro del plano $ABC$. Ahora si $E\in \mathbb {\triangle DCB}$, Y $E$ esta del lado de $C$ en referencia a la semirrecta $AD$, el cuadrilatero $ADEC$ es convexo. Si $E\in \mathbb {\triangle {DCB}}$ y esta del lado de $B$ de la semirrecta $AD$, se tiene quue el cuadrilatero $ADEB$ es convexo. Se concluye lo analogo si $E$, esta en los triangulos $\triangle {ADB}\vee \triangle {ADC}$. Ahora si $E$ esta fuera del plano $ABC$, los cuadrilateros $EADB$,$EADC$ o $DCEB$ son convexos. Luego existe un cuadrilatero convexo cuyos vertices esten en $4$ de estos puntos.$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2010, 06:08 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ojala alguien responda de forma "elemental" el p3 saludos y ojala que les haya ido bien a los que la dieron -------------------- blep

Carlossaji Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2020, 04:11 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 17-June 15 Miembro Nº: 138.525 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Aug 23 2010, 06:08 PM) Ojala alguien responda de forma "elemental" el p3 saludos y ojala que les haya ido bien a los que la dieron $TEX: \noindent<br />Denotemos por $p®$ a la cantidad de puntos $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ tales que <br />\[x^2 + y^2 \le r^2,\]<br />es decir, la cantidad de puntos enteros en la circunferencia de radio $r$.\\<br />Afirmamos que $p® \le \pi (r + \sqrt{2})^2$. En efecto, si $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ con $x,y \ge 0$ es tal que $x^2 + y^2 \le r^2$, entonces $(x+1,y+1)$ está en la circunferencia de radio $r + \sqrt{2}$. En nuestro problema tenemos entonces $p(n) \le \pi n^2 + 2\sqrt{2}\pi n + 2\pi$. Como $\pi < \frac{16}{5}$, y $2\pi < \big(\frac{64}{5} - 2\sqrt{2}\pi \big)n$ si $n\ge 2$ (esto es cierto porque $\big(\frac{64}{5} - 2\sqrt{2}\pi \big) > 0$ y se verifica para $n=2$), basta ver que $p(1) < 16$, lo cual es evidentemente cierto.<br />$

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2020, 06:15 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Aug 23 2010, 06:08 PM) Ojala alguien responda de forma "elemental" el p3 saludos y ojala que les haya ido bien a los que la dieron CITA(Carlossaji @ Sep 17 2020, 04:11 PM) $TEX: \noindent<br />Denotemos por $p®$ a la cantidad de puntos $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ tales que <br />\[x^2 + y^2 \le r^2,\]<br />es decir, la cantidad de puntos enteros en la circunferencia de radio $r$.\\<br />Afirmamos que $p® \le \pi (r + \sqrt{2})^2$. En efecto, si $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ con $x,y \ge 0$ es tal que $x^2 + y^2 \le r^2$, entonces $(x+1,y+1)$ está en la circunferencia de radio $r + \sqrt{2}$. En nuestro problema tenemos entonces $p(n) \le \pi n^2 + 2\sqrt{2}\pi n + 2\pi$. Como $\pi < \frac{16}{5}$, y $2\pi < \big(\frac{64}{5} - 2\sqrt{2}\pi \big)n$ si $n\ge 2$ (esto es cierto porque $\big(\frac{64}{5} - 2\sqrt{2}\pi \big) > 0$ y se verifica para $n=2$), basta ver que $p(1) < 16$, lo cual es evidentemente cierto.<br />$ Ahhahaha, llegó tarde pero llegó. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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