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MA674-1 2010, Material

ajenjo	Mar 22 2011, 10:05 AM Publicado: #11
Invitado	Te postularía seriamente a Gold user xD. Pregunta: Pre-requisitos generales del ramo? Eso, gracias por el aporte!

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 22 2011, 12:11 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(ajenjo @ Mar 22 2011, 11:05 AM) Te postularía seriamente a Gold user xD. Pregunta: Pre-requisitos generales del ramo? Eso, gracias por el aporte! Programa_MA674_2011.pdf ( 88.41k ) Número de descargas: 48 Te adjunto el programa del presente semestre (en la página del curso está disponible a nivel público), el semestre pasado no tiene. Ahora, sí o sí requieres Análisis Funcional (MA4801-1). Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Mar 22 2011, 12:12 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 22 2011, 11:32 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Pregunta 2 Control 2 $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{En primer lugar, notemos que }}f_\infty \left( d \right) = \sup \left\{ {f\left( {x + d} \right) - f\left( x \right),x \in domf} \right\}. \hfill \\<br /> {\text{Entonces, se tiene que:}} \hfill \\<br /> \left( {f^* } \right)_\infty \left( d \right) = \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{x \in domf^* } \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{y \in domf} \left\{ {\left\langle {y,x + d} \right\rangle - f\left( y \right)} \right\} - f^* \left( x \right)} \right\}}_\eta \hfill \\<br /> \eta = \mathop {\sup }\limits_{y \in domf} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{x \in domf^* } \left\{ {\left\langle {y,x} \right\rangle - f^* \left( x \right)} \right\} + \left\langle {y,d} \right\rangle - f\left( y \right)} \right\} = \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{y \in domf} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{x \in domf^* } \left\langle {y,d} \right\rangle + \underbrace {f^{} \left( x \right) - f\left( x \right)}_{f^{} \leqslant f}} \right\}}_\alpha \hfill \\<br /> \alpha \leqslant \sigma _{domf} \left( d \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Ahora, sea }}d \in \left( {domf^* } \right)_\infty {\text{ }}\left( {{\text{en caso contrario es trivial}}} \right){\text{, sea }}\beta = \left( {f^* } \right)_\infty \left( d \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Se tiene que }}f^* \left( {x + td} \right) - f^* \left( x \right) \leqslant \beta t,\forall x \in domf^* ,\forall t > 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por la definicion del conjugado se tiene que }}f\left( y \right) + f^* \left( {x + td} \right) \geqslant \left\langle {y,x} \right\rangle + t\left\langle {y,d} \right\rangle ,\forall t > 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Combinando ambas desigualdades, se obtiene que }}f\left( y \right) \geqslant \left\langle {y,x} \right\rangle - f^* \left( x \right) + t\left( {\left\langle {y,d} \right\rangle - \beta } \right),\forall t > 0. \hfill \\<br /> {\text{Entonces, }}\left\langle {y,d} \right\rangle \mathop \leqslant \limits_{t \to \infty } \beta ,\forall y \in domf \Rightarrow \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{y \in domf} \left\langle {y,d} \right\rangle }_{ = \sigma _{domf} \left( d \right)}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Por el otro lado, como }}f \in \Gamma _0 \left( {\mathbb{R}^n } \right){\text{ se tiene que }}f = \sigma _{domf^* } ,\left( {f^* } \right)_\infty = \delta _{cldomf^* } {\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{En efecto, la primera igualdad es directa reemplazando }}f{\text{ por }}f^{*} {\text{. Para la segunda igualdad,}} \hfill \\<br /> {\text{recordando que }}\forall A \subset \mathbb{R}^n {\text{, }}\sigma _A = \sigma _{clA} {\text{ y }}\sigma _A = \delta _A^ {\text{, se tiene reemplazando}}{\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Tenemos que }}f^* {\text{ es simetrica}}{\text{. En efecto, sea }}A{\text{ una matriz invertible, sea }}g\left( x \right) = f\left( {Ax} \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Se tiene que }}g^* \left( y \right) = f^* \left( {\left( {A^T } \right)^{ - 1} y} \right){\text{. Si ademas }}A{\text{ es matriz ortogonal }}\left( {{\text{en particular estocastica}}} \right){\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{se tiene que }}A^T = A^{ - 1} \Rightarrow f^* \left( y \right) = f^* \left( {Ay} \right){\text{. }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Tenemos que }}\Phi _f^* \left( Z \right) = \Phi _f^* \left( {diag\lambda \left( Z \right)} \right){\text{. Luego, se tiene que}} \hfill \\<br /> \Phi _f^* \left( Z \right) = \mathop {\sup }\limits_{X \in S_{n \times n} } \left\{ {\left\langle {X,diag\lambda \left( Z \right)} \right\rangle - \Phi _f \left( X \right)} \right\} \geqslant \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{x \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {diagx,diag\lambda \left( Z \right)} \right\rangle - \Phi _f \left( {diagx} \right)} \right\}}_\phi {\text{ }} \hfill \\<br /> \phi = \mathop {\sup }\limits_{x \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {x,\lambda \left( Z \right)} \right\rangle - f\left( x \right)} \right\} = f^* \left( {\lambda \left( Z \right)} \right) = \Phi _{f^* } \left( Z \right){\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Combinando la Desigualdad de Frenchel - Young con la Desigualdad de la Traza se obtiene que}} \hfill \\<br /> \Phi _{f^* } \left( Z \right) \leqslant \Phi _f^* \left( Z \right){\text{. Se obtiene la igualdad}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Ahora mostremos que }}\left( {\Phi _f } \right)_\infty \left( D \right) = \Phi _{f_\infty } \left( D \right) = f_\infty \left( {\lambda \left( D \right)} \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}D \in S_{n \times n} {\text{, se tiene que}} \hfill \\<br /> \left( {\Phi _f } \right)_\infty \left( D \right) = \sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in dom\Phi _f^* } \right\} = \underbrace {\sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in dom\Phi _{f^* } } \right\}}_\xi \hfill \\<br /> \xi = \sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in cldom\Phi _f^* } \right\}{\text{ }} \hfill \\<br /> \Phi _{f_\infty } \left( D \right) = \sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in dom\Phi _{f_\infty }^* } \right\} = \underbrace {\sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in dom\Phi _{\left( {f_\infty } \right)^* } } \right\}}_\zeta \hfill \\<br /> \zeta = \sup \left\{ {\left. {\left\langle {Z,D} \right\rangle } \right\|Z \in cldom\Phi _{\left( {f_\infty } \right)^* } } \right\} \hfill \\<br /> {\text{Nos resta probar que }}cldom\Phi _f^* = dom\Phi _{\left( {f_\infty } \right)^* } {\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Tenemos que }}dom\Phi _{f^* } = \left\{ {\left. {UdiagxU^T } \right\|U \in \mu _n ,x \in domf^* } \right\}{\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Dado lo anterior, observando que }}dom\left( {f_\infty } \right)^* = cldomf^* {\text{ se tiene que}} \hfill \\<br /> cldom\Phi _{f^* } = \left\{ {\left. {UdiagxU^T } \right\|U \in \mu _n ,x \in cldomf^* } \right\} = \underbrace {\left\{ {\left. {UdiagxU^T } \right\|U \in \mu _n ,x \in dom\left( {f_\infty } \right)^* } \right\}}_\varphi {\text{ }} \hfill \\<br /> \varphi = dom\left( {f_\infty } \right)^* {\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Se concluye}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 18 2011, 08:27 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Pregunta 2 Examen, parte b $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{La parte a y la implicancia a la derecha de esta parte no son dificiles de probar,}} \hfill \\<br /> {\text{probemos la implicancia hacia la izquierda}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Consideremos la funcion diferenciable }}g\left( t \right) = f^* \left( {u + t\left( {v - u} \right)} \right){\text{. Tenemos que }} \hfill \\<br /> g'\left( t \right) = \left\langle {\nabla f^* \left( {u + t\left( {v - u} \right)} \right),v - u} \right\rangle {\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Luego, }}g'\left( t \right) - g'\left( 0 \right) \leqslant \tfrac{{\left\| t \right\|}}<br />{{\beta ^2 }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 {\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{En consecuencia, }}f^* \left( v \right) - f^* \left( u \right) = g\left( 1 \right) - g\left( 0 \right) \leqslant \underbrace {\int_0^1 {\left[ {g'\left( 0 \right) + \tfrac{{\left\| t \right\|}}<br />{{\beta ^2 }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 } \right]dt} }_{ = \left\langle {\nabla f^* \left( u \right),v - u} \right\rangle + \tfrac{1}<br />{{2\beta }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 }{\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Fijemos }}y \in \mathop {\left( {domf} \right)}\limits^o {\text{, entonces podemos tomar }}u \in \partial f\left( y \right){\text{ y se tiene que }} \hfill \\<br /> f^* \left( u \right) = \left\langle {y,u} \right\rangle - f\left( y \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Se sigue que }} \hfill \\<br /> f\left( x \right) = \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{v \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {x,v} \right\rangle - f^* \left( v \right)} \right\}}_\alpha \hfill \\<br /> \alpha \geqslant \underbrace {\mathop {\sup }\limits_{v \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {x,v} \right\rangle - \underbrace {f^* \left( v \right)}_{ = \left\langle {y,u} \right\rangle - f\left( y \right)} - \left\langle {\nabla f^* \left( u \right),v - u} \right\rangle - \tfrac{1}<br />{{2\beta }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 } \right\}}_\lambda \hfill \\<br /> \lambda = \underbrace {f\left( y \right) + \mathop {\sup }\limits_{v \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {x - \nabla f^* \left( u \right),u} \right\rangle + \underbrace {\left\langle {\nabla f^* \left( u \right) - y,u} \right\rangle }_{ = 0} - \tfrac{1}<br />{{2\beta }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 } \right\}}_\varpi \hfill \\<br /> \varpi = f\left( y \right) + \mathop {\sup }\limits_{v \in \mathbb{R}^n } \left\{ {\left\langle {x - y,u} \right\rangle - \tfrac{1}<br />{{2\beta }}\left\\| {u - v} \right\\|^2 } \right\}{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Notar que el supremo de la ultima desigualdad se alcanza con }} \hfill \\<br /> v = u + \beta \left( {x - y} \right){\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Finalmente, se tiene que }} \hfill \\<br /> {\text{ }}f\left( x \right) \geqslant f\left( y \right) + \left\langle {u,x - y} \right\rangle + \tfrac{\beta }<br />{2}\left\\| {x - y} \right\\|^2 ,\forall u \in \partial f\left( y \right) \hfill \\<br /> {\text{Se concluye}}{\text{. }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Apr 18 2011, 08:37 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

elDesKisiaO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 14 2011, 07:22 PM Publicado: #15
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 14-December 11 Miembro Nº: 99.120 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:

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