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MA674-1 2010, Material

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2010, 12:09 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	En el presente tema, voy a postear material relacionado con el ramo MA674-1 "Análisis Convexo y Dualidad" dictado por el profesor Roberto Cominetti. En el siguiente enlace pueden ver el curso, atentos a "Material Alumnos". Apuntes_Analisis_Convexo.pdf ( 784.69k ) Número de descargas: 226 aux_1.pdf ( 175.17k ) Número de descargas: 162 aux_2.pdf ( 185.46k ) Número de descargas: 40 aux_3.pdf ( 161.64k ) Número de descargas: 28 aux_4.pdf ( 185.27k ) Número de descargas: 21 aux_5.pdf ( 164.55k ) Número de descargas: 24 aux_6.pdf ( 167.7k ) Número de descargas: 26 aux_7.pdf ( 162.16k ) Número de descargas: 36 Resumen_sobolev.pdf ( 181.34k ) Número de descargas: 98 Tarea_1.pdf ( 188.06k ) Número de descargas: 95 Tarea_2.pdf ( 166.36k ) Número de descargas: 42 resumen_c2.pdf ( 206.27k ) Número de descargas: 60 Espero que les sirva. Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Nov 15 2010, 09:54 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2010, 01:26 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir la primera auxiliar. En "Material Alumnos" encontrarán material relacionado a la bibliografía y unos cuantos extras, quizás se suban más fuentes. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2010, 08:37 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir la primera tarea no se ve difícil, pero tampoco fácil . Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Sep 4 2010, 04:48 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2010, 11:04 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir la segunda tarea, se ve más pasable que la primera. Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Oct 28 2010, 05:43 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2010, 07:20 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir los enunciados de clases auxiliares restantes. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2010, 07:53 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir un resumen para el segundo control, está bueno. Cualquier consulta por MP. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 15 2010, 09:52 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir una versión actualizada del resumen para el segundo control del ramo que es mañana, Cominetti va a hacer de las suyas nuevamente . Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2011, 11:26 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Acabo de subir el siguiente material para quien tenga interés en aprender Análisis Convexo y Dualidad. It can´t be XD La razón por la cual había borrado material previamente posteado en U-Cursos fue por recomendación de terceros (a nivel académico). Pronto subo los controles y el examen. Espero que les sirva. Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Mar 16 2011, 11:27 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 18 2011, 11:25 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Y como lo prometido es deuda, los controles y el examen. MA674_1_2010_Evaluaciones.rar ( 2.33mb ) Número de descargas: 48 Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 22 2011, 01:13 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	De vez en cuando, voy a postear soluciones de los problemas correspondientes a las evaluaciones (dado que no me han salido cortas XD), los que se animen pueden postear soluciones. Solución Pregunta 3 Control 2 $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{En primer lugar, notar que }}\varphi _{k + 1} = \varphi _k + \left\langle {x_{k + 1} - x_k ,x_{k + 1} - x_* } \right\rangle - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_{k + 1} - x_k } \right\|^2 . \hfill \\<br /> {\text{Si }}\alpha {}_k = 0,{\text{ entonces se tiene que }}x_{k + 1} - x_k + \lambda _k A\left( {x_{k + 1} } \right) \mathrel\backepsilon 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Como }}A{\text{ es monotono, se deduce que }}\left\langle {x_{k + 1} - x_k ,x_{k + 1} - x_* } \right\rangle \leqslant 0 \Rightarrow \varphi _{k + 1} - \varphi _k \leqslant - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_{k + 1} - x_* } \right\|^2 \hfill \\<br /> {\text{Luego, }}\left( {\varphi _k } \right){\text{ no es creciente, en consecuencia convergente}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Dado }}x_* \in S,{\text{ como }}x_* {\text{ es arbitrario se cumple que }}\mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \left\| {x_j - x_* } \right\|{\text{ existe}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Como }}\varphi _{k + 1} - \varphi _k \leqslant - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_{k + 1} - x_* } \right\|^2 {\text{, }}\sum\limits_{j = 1}^\infty {\left\| {x_{k + 1} - x_k } \right\|^2 \leqslant 2\varphi _1 = \left\| {x_1 - x_* } \right\|^2 } {\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Luego, }}\left\| {x_{k + 1} - x_k } \right\|\mathop \to \limits_{k \to \infty } 0. \hfill \\<br /> {\text{Sea }}x{\text{ un pto de acumulacion debil de }}\left( {x_k } \right){\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Como el grafo del operador monotono maximal }}A{\text{ es cerrado en }}{\rm H} \times {\rm H}{\text{ para la topologia}} \hfill \\<br /> {\text{debil - fuerte, se tiene que }}0 \in A\left( x \right) \Rightarrow x \in S.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por Lema de Opial, se tiene el resultado para }}\alpha {}_k = 0.{\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Ahora, si }}\alpha _k > 0{\text{ para algun }}k \in \mathbb{N}. \hfill \\<br /> {\text{En primer lugar, tenemos que}} \hfill \\<br /> \left\langle {x_{k + 1} - x_k - \alpha _k \left( {x_k - x_{k - 1} } \right),x_{k + 1} - x_* } \right\rangle + \lambda _k \left\langle {A\left( {x_{k + 1} } \right),x_{k + 1} - x_* } \right\rangle = 0 \hfill \\<br /> {\text{Dado que }}A{\text{ es monotono, se tiene que }}\left\langle {x_{k + 1} - x_k - \alpha _k \left( {x_k - x_{k - 1} } \right),x_{k + 1} - x_* } \right\rangle \leqslant 0{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Observemos que }} \hfill \\<br /> \left\langle {x_{k + 1} - x_k - \alpha _k \left( {x_k - x_{k - 1} } \right),x_{k + 1} - x_* } \right\rangle = \varphi _{k + 1} - \varphi _k + \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_{k + 1} - x_k } \right\|^2 - \alpha _k \left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_{k + 1} - x_* } \right\rangle \hfill \\<br /> \left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_{k + 1} - x_* } \right\rangle = \underbrace {\left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_k - x_* } \right\rangle + \left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_{k + 1} - x_k } \right\rangle }_\beta \hfill \\<br /> \beta = \varphi _k - \varphi _{k - 1} + \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_k - x_{k - 1} } \right\|^2 + \left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_{k + 1} - x_k } \right\rangle {\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Entonces, se tiene que}} \hfill \\<br /> \theta _{k + 1} - \theta _k - \alpha _k \left( {\varphi _k - \varphi _{k - 1} } \right) \leqslant \underbrace { - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {x_{k + 1} - x_k } \right\|^2 + \alpha _k \left\langle {x_k - x_{k - 1} ,x_{k + 1} - x_k } \right\rangle + \tfrac{{\alpha _k }}<br />{2}\left\| {x_k - x_{k - 1} } \right\|^2 }_\varepsilon \hfill \\<br /> \varepsilon = - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {\underbrace {x_{k + 1} - x_k - \alpha _k \left( {x_k - x_{k - 1} } \right)}_{v_{k + 1} }} \right\|^2 + \tfrac{1}<br />{2}\underbrace {\left( {\alpha _k } \right)\left\| {x_k - x_{k - 1} } \right\|^2 }_{\delta _k } + \tfrac{1}<br />{2}\alpha _k^2 \left\| {x_k - x_{k - 1} } \right\|^2 \hfill \\<br /> {\text{En consecuencia, se tiene que }} \hfill \\<br /> \varphi _{k + 1} - \varphi _k - \alpha _k \left( {\varphi _k - \varphi _{k - 1} } \right) \leqslant - \tfrac{1}<br />{2}\left\| {v_{k + 1} } \right\|^2 + \delta _k \hfill \\<br /> {\text{Sea }}\left[ x \right]_ + = \max \left\{ {x,0} \right\}{\text{, sea }}\theta _k = \varphi {}_k - \varphi _{k - 1} . \hfill \\<br /> {\text{Por lo anterior, se obtiene que }}\theta _{k + 1} \leqslant \alpha _k \theta _k + \delta _k \leqslant \alpha _k \left[ {\theta _k } \right]_ + + \delta _k {\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Entonces, }}\left[ {\theta _{k + 1} } \right]_ + \leqslant \alpha \left[ {\theta _k } \right]_ + + \delta _k ,\alpha \in \left( {0,1} \right){\text{ segun la hipotesis}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Por consiguiente, }}\left[ {\theta _{k + 1} } \right]_ + \leqslant \alpha ^k \left[ {\theta _1 } \right]_ + + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\alpha ^i \delta {}_{k - i}} \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left[ {\theta _{k + 1} } \right]_ + } \leqslant \tfrac{1}<br />{{1 - \alpha }}\left( {\left[ {\theta _1 } \right]_ + + \underbrace {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\delta {}_k} }_{ < \infty }} \right) < \infty . \hfill \\<br /> {\text{Ahora, consideremos la sucesion }}w_k = \underbrace {\varphi _k }_{ \geqslant 0} - \underbrace {\sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {\theta _k } \right]_ + } }_{ < \infty }{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Se tiene que }}w_k {\text{ tiene una cota inferior}}{\text{. }} \hfill \\<br /> {\text{Se tiene que}} \hfill \\<br /> w_{k + 1} = \varphi _{k + 1} - \left[ {\theta _{k + 1} } \right]_ + - \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {\theta _k } \right]_ + } \leqslant \varphi _{k + 1} - \varphi _{k + 1} + \varphi _k - \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {\theta _k } \right]_ + } = w_k {\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Luego, }}\left( {w_k } \right){\text{ es no creciente}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{En consecuencia, }}\left( {w_k } \right){\text{ es convergente}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{De lo anterior se obtiene que }}\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _k = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left[ {\theta _i } \right]_ + } + \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } w_k {\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Entonces, }}\forall x_* \in S,\exists \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left\| {x_k - x_* } \right\|{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Tambien podemos observar que }}\tfrac{1}<br />{2}\left\| {v_{k + 1} } \right\|^2 \leqslant \varphi _k - \varphi _{k + 1} + \alpha \left[ {\theta _k } \right]_ + + \delta _k < \infty . \hfill \\<br /> {\text{En consecuencia, }}\tfrac{1}<br />{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left\| {v_{k + 1} } \right\|^2 } \leqslant \varphi _1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\alpha \left[ {\theta _k } \right]_ + + \delta _k } \right)} < \infty . \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto, }}v_{k + 1} \mathop \to \limits_{k \to \infty } 0. \hfill \\<br /> {\text{Finalmente, como }}v_{k + 1} + \lambda _k A\left( {x_{k + 1} } \right) \mathrel\backepsilon 0 \Rightarrow dist\left( {0,A\left( {x_k } \right)} \right)\mathop \to \limits_{k \to \infty } 0,{\text{ podemos aplicar Lema de Opial}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Se concluye}}{\text{. }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ Saludos Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Apr 18 2011, 09:28 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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