Control 3 MA3801 Análisis

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Control 3 MA3801 Análisis, I´m your father, by Roberto Cominetti

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2010, 04:32 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	C3_2010.pdf ( 57.94k ) Número de descargas: 389 Lejos el más pasable de los controles. Espero que les sirva. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Chaska.- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2015, 10:15 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 8-August 08 Desde: Calama Miembro Nº: 31.775 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 1.a) $ A_ny_n$ tiende a 0 para toda suc. $y_n$ acotada, para resolver el problema basta usar la def. de norma en el espacio de los operadores continuos.\\<br />Dado $n\in\mathbf{N}$ sabemos que:<br />\begin{center}<br />$\vert\vert A_n \vert\vert = sup\lbrace \vert\vert A_ny\vert\vert \ ; \vert\vert y \vert\vert = 1\rbrace$<br /><br />\end{center}<br />(obs no se explicitan las normas del espacio Y y Z, pero se entiende cual es cual xD). \\<br />Con esto es suficiente ahora usando la def. de supremo, dado $\frac{1}{n} > 0 $ existe $y_n$ con $\vert\vert y_n \vert\vert = 1$ tal que:<br />\begin{center}<br />$0\leq \vert\vert A_n \vert\vert \leq \vert\vert A_ny_n \vert\vert + \frac{1}{n}$ <br />\end{center}<br />Note que hemos encotrado una suceci\'on $\lbrace y_n\rbrace$ acotada (tienen norma 1 por definici\'on) tal que <br />\begin{center}<br />$0\leq \vert\vert A_n \vert\vert \leq \vert\vert A_ny_n \vert\vert + \frac{1}{n}$ <br />\end{center}<br />Ahora podemos pasar al limite usando la hipotesis de que $ A_ny_n$ se va a 0 para toda suceci\'on acotada y se concluye lo deseado<br />$ --------------------

Chaska.- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2015, 11:16 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 8-August 08 Desde: Calama Miembro Nº: 31.775 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 2a) G = $\lbrace x\in l^p \ : \Sigma_{n} x_n = 0\rbrace$, tenemos que $1<p,q<\infty $ y que existe $y\in l^q $ (q exponente conjugado) tal que $\Sigma_{n} y_nx_n = 0\forall x\in G$ , se probar\'a que $y$ es constante y como esta esta en $l^q$ debe ser la sucesi\'on constante 0 pues en caso contrario la sumatoria diverge ($\Sigma_{n} \vert K\vert ^q$ diverge, donde $K$ es una constante)<br />Dados $k,s$ naturales veamos que $y_k = y_s$, para ello tomemos la sucesi\'on $x\in G$ definida por:<br />\begin{center}<br />$x_n = \left\{\begin{array}{r} <br />1 \ si \ n = k \\<br />-1 \ si \ n = s \\<br />0 \ e.o.c<br />\end{array}<br />\right.$<br />\end{center}<br />Ahora usando la hip\'otesis para esta sucesi\'on en particular: <br />$$\Sigma_{n} y_nx_n = 0 \Leftrightarrow y_k = y_s $$<br />Luego la sucesi\'on $y$ es constante y por tanto debe ser identicamente 0.<br />Para el otro apartado usar\'e el hecho:<br />\begin{center}<br />Sea $X$ un espacio vectorial y sea $M$ un subespacio de de $X$ entonces $M$ es denso en $X$ ssi $M^{\perp} = 0$, donde $M^{\perp} = \lbrace f \in (X)' : f(x) = 0 \ \forall x \in M\rbrace = \lbrace 0\rbrace$<br />\end{center}<br />Ahora claramente G es un subespacio de $l^p$ y ademas note que:<br />\begin{center}<br />$G^{\perp} = \lbrace f \in (l^p)' : f(x) = 0 \ \forall x \in G\rbrace =\lbrace y \in l^q : \Sigma_{n} y_nx_n = 0 \ \forall x \in G\rbrace = \lbrace 0\rbrace $<br />\end{center}<br /><br />donde usamos el hecho de que $(l^p)'$ es isomorfo a $l^q$ y su respectivo producto dualidad. As\'i se concluye<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$ --------------------

Chaska.- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2015, 11:26 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 8-August 08 Desde: Calama Miembro Nº: 31.775 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 2.b) para lo primero basta tomar la sucesi\'on $y$ constante identicamente 1 que esta en $l^{\infty}$ y se concluye, en este caso (Observe que $(l^1)'$ es ismorfo a $l^{\infty}$) se tiene que:<br />$$ G^{\perp} \neq \lbrace 0 \rbrace $$ y no hay densidad<br /><br /><br /><br /><br />$ --------------------

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