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> {a,b,c}
tochalo
mensaje Aug 10 2010, 11:13 PM
Publicado: #1


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A propósito de este tema
propongo el siguiente problema:

TEX: \noindent <br />Sea $C=\{(a,b,c):a,b,c \in \mathbb{N}\,|\,(ab-1),(bc-1),(ac-1)\ \ \hbox{son cuadrados perfectos}\}$<br />donde $a,b, c$ son distintos entre sí.\\<br />Demuestre que $C$ posee infinitas tripletas.

Saludos

Mensaje modificado por tochalo el Aug 11 2010, 03:57 PM
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pelao_malo
mensaje Aug 11 2010, 12:01 AM
Publicado: #2


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na ke ver me ekivoque

Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 11 2010, 12:05 AM


--------------------
TEX: $\sqrt{5}=41$
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xD13G0x
mensaje Aug 11 2010, 03:16 PM
Publicado: #3


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TEX: $a=b=1,c=n^2+1$


--------------------
"I've never let my school interfere with my education.”
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tochalo
mensaje Aug 11 2010, 03:41 PM
Publicado: #4


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Bueno, disculpa por no haber escrito que TEX: $a,b,c$ deben ser distintos.
(creí que se sobreentendía)
Pero lo corrijo de inmediato

Saludos.
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coquitao
mensaje Aug 22 2010, 07:18 PM
Publicado: #5


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Si el par TEX: $(r,s)$ es solución de la ecuación de Pell TEX: $x^{2}-5y^{2}=-1$ entonces al hacer

TEX: $a= (3s-r), b= (3s+r)\quad \mbox{y} \quad c= 2s,$

tenemos que

TEX: $ab - 1 =4s^{2} ,$

TEX: $ac - 1 =(r-s)^{2} $

y

TEX: $bc - 1 =(r+s)^{2}. $



--------------------
"Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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tochalo
mensaje Aug 22 2010, 10:01 PM
Publicado: #6


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Brillante solución, estimado Coquitao.
Cómo se te ocurrió eso?
Bonita respuesta.

Cuando me hice esta pregunta primero comencé a buscar algunos tríos. Hallé TEX: $\{1,2,5\},\{5,10,29\}$, además tenía inicialmente el TEX: $\{2,5,13\}$. Luego intenté encontrar un patrón en estos números. Lo demás fue suerte, Ramanujan y su diosa me entregaron la fórmula. Aquí la escribo:

TEX: \noindent<br />Sea $a=n^2+1$, $b=(n+1)^2+1$ y $c=(2n+1)^2+4$.\\<br /> Notemos que se cumple que:<br />\begin{eqnarray*}<br />(n^2+1)[(n+1)^2+1]-1&=&(n^2+n+1)^2\\<br />(n^2+1)[(2n+1)^2+4]-1&=&(2n^2+n+2)^2\\<br />((n+1)^2+1)[(2n+1)^2+4]-1 &=& (2n^2+3n+3)^2\\<br />\end{eqnarray*}

Temo que alguna vez mi suerte se acabe. XD
Saludos.
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