Un Desafio de Geometria, Resuelto por Cesarator Opciones

[Rurouni Kenshin]

Desafio de la Semana(Propuesto 7)
Sea AD la bisectriz de un triangulo ABC(D pertenece a BC) tal que AB+AD=CD y AC+AD=BC.
Determine la medida de los angulos del triangulo ABC

Solucion:

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Ponemos x, y, z para los ángulos en los vértices A, B y C del triángulo ABC.

Tenemos
x+ y +z = 180.

Trazamos un punto P sobre el lado BC tal que AB = AP. Se trazan BP y PD (Ver figura).

Como AD es bisectriz del ángulo BAP, es perpendicular y dimidia a BP. Luego, por LAL,

BD = PD

Además, usando las igualdades dadas, se tiene

AC + AD = BC = BD + CD = BD + AB + AD,

de donde

AC = BD + AB = BD + AP.
Luego,

PC = BD = PD

Esto implica que
< APD = y , < PDC = z

de donde, como el <APD es un ángulo esterno del triángulo PDC, se tiene

y = 2z


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Ya, ahora extendemos el lado CA hasta un punto Q como en la figura, con AQ = AD.
Esto implica que

CQ = CB

Analizando igualdades de ángulos, esto lleva a que

BQ = BD=PD
Luego, los tríangulos AQB y ADP son congruentes, de donde

x = 6z

En conclusión,

z=20, y=40, x=120

o, traduciendo

<A = 120, <B=40, <C=20

Resuelto por Cesarator