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Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 30 2010, 07:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />Sea $n \in \mathbb{N}$. Calcule la integral<br />\[ \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{n}} \]<br /><br /><br /><br />$

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 30 2010, 07:38 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> I = \int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}<br />{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}}} \hfill \\<br /> I\underbrace = _{{x^2} \to t}\frac{1}<br />{2}\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^{\frac{1}<br />{2} - 1}}}}<br />{{{{\left( {1 + t} \right)}^{\frac{1}<br />{2} + \left( {n - \frac{1}<br />{2}} \right)}}}}dt} = \frac{1}<br />{2}\beta \left( {\frac{1}<br />{2},n - \frac{1}<br />{2}} \right) \hfill \\<br /> I = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}<br />{2}} \right)\Gamma \left( {n - \frac{1}<br />{2}} \right)}}<br />{{2\Gamma \left( n \right)}} = \sqrt \pi \frac{{\Gamma \left( {n - \frac{1}<br />{2}} \right)\Gamma \left( n \right)}}<br />{{2{\Gamma ^2}\left( n \right)}} \hfill \\<br /> I = \pi \frac{{\Gamma \left( {2n} \right)}}<br />{{{2^{2n}}{\Gamma ^2}\left( n \right)}} \hfill \\<br /> I = \frac{{\pi \left( {2n - 1} \right)!}}<br />{{{2^{2n}}\left( {n - 1} \right){!^2}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Este semestre deberia poder responderlo en complejos, creo. -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 30 2010, 09:17 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola Solo un pequeñíiiiiiiisimo detalle del porte de un épsilon: $TEX: <br /><br />\[ \Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right) \Gamma(n) = \frac{ \sqrt{\pi} (2n-2)! }{2^{2n-2}} \]<br /><br />$ La respuesta es CASI! Mensaje modificado por Laðeralus el Jul 30 2010, 09:22 PM

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 31 2010, 02:10 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	esto se merece un -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2010, 12:35 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $\gamma$ la curva que parametriza la mitad superior de $\|z\|=R>1$. Entonces<br />\[\oint_{\gamma}\frac{dz}{(1+z^2)^n}=2\pi i \operatorname{Res}(f,i).\]<br />Pero<br />\[\oint_{\gamma}\frac{dz}{(1+z^2)^n}=\int_{\gamma_1}\frac{dz}{(1+z^2)^n}+\int_{\gamma_2}\frac{dz}{(1+z^2)^n},\]<br />donde $\gamma_1,\gamma_2$ son las curvas obvias a tomar, es decir,<br />\[\int_{\gamma_1}\frac{dz}{(1+z^2)^n}=\int_{-R}^R\frac{dx}{(1+x^2)^n}\]<br />y<br />\[\int_{\gamma_2}\frac{dz}{(1+z^2)^n}=\int_0^{\pi}\frac{iRe^{i\theta}}{(1+R^2e^{i2\theta})^n}d\theta.\]<br />Notemos que<br />\[\left\|\int_{\gamma_2}\frac{dz}{(1+z^2)^n}\right\|\le\frac{2\pi R}{(R^2-1)^n}\to 0,\quad R\to\infty.\]<br />Luego, por el Teorema de Convergencia Monótona,<br />\[\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\pi i\operatorname{Res}(f,i),\]<br />donde $f(z)=\frac{1}{(1+z^2)^n}$. Como $f$ tiene un polo de orden $n$ en $z=i$, tenemos que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\operatorname{Res}(f,i)&=\lim_{z\to i}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{(z-i)^n}{(1+z^2)^n}\right)=\lim_{z\to i}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{1}{(z+i)^n}\right)\\<br />&=\lim_{z\to i}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-2}}{dz^{n-2}}\left(\frac{(-1)n}{(z+i)^{n+1}}\right)<br />=\ldots=\lim_{z\to i}\frac{1}{(n-1)!}\frac{(-1)^{n-1}n(n+1)\ldots(2n-2)}{(z+i)^{2n-1}}\\<br />&=\frac{(-1)^{n-1}}{(2i)^{2n-1}}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!^2}=-\frac{i}{2^{2n-1}}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!^2}.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Así,<br />\[\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{\pi}{2^{2n-1}}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!^2}.\]<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2010, 12:38 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	¡Ese era el desarrollo que esperaba! Mensaje modificado por Laðeralus el Oct 18 2010, 12:39 AM

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