Congruencia Modulo, Cuarta Parte(Problemas Propuestos) Opciones

[Guía Rojo]

En el ejercicio 3 logré probar que:
a^2 = 1 (mód 6)
Pero nada más...
Ayúdenme

[Rurouni Kenshin]

En el ejercicio 3 logré probar que:
a^2 = 1 (mód 6)
Pero nada más...
Ayúdenme

En congruencia modulo 24,los numeros que no son divisibles por 2 o por 3,son:
a=1,5,7,11,13,17,19,23(mod 24)(*)
Si elevamos al cuadrado tendriamos en todos los casos que:
a^2=1(mod 24)
(eso espero pues no me di el trabajo de elevar al cuadrado y dividir por 24)

(*)Notar la importancia de que 24 tiene a 2 y 3 como divisores

Saludos

[Guía Rojo]

Entonces es muy fácil (como diría cierto kerido profesor):

Las posibilidades son sólo 8:
a = 1 (mod 24)
a = 5 (mod 24)
a = 7 (mod 24)
a = 11 (mod 24)
a = 13 (mod 24)
a = 17 (mod 24)
a = 19 (mod 24)
a = 23 (mod 24)

Hay una propiedad de la congruencia módulo que dice:
Si: m = n (mod k)
Entonces: m^t = n^t (mod k)
Por esta propiedad, tenemos las siguientes posibilidades:
a^2 = 1 (mod 24)
a^2 = 25 (mod 24)
a^2 = 49 (mod 24)
a^2 = 121 (mod 24)
a^2 = 169 (mod 24)
a^2 = 289 (mod 24)
a^2 = 361 (mod 24)
a^2 = 529 (mod 24)

Pero también tenemos:
25 = 24 + 1 = 1 (mod 24)
49 = 24*2 + 1 = 1 (mod 24)
121 = 24*5 + 1 = 1 (mod 24)
169 = 24*7 + 1 = 1 (mod 24)
289 = 24*12 + 1 = 1 (mod 24)
361 = 24*15 + 1 = 1 (mod 24)
529 = 24*22 + 1 = 1 (mod 24)

Entonces, llegamos a la conclusión que todo número coprimo con 2 y/o con 3, es congruente con 1 en módulo 24.

Ojalá ke haya kedado bonito, y ke cierta persona no lo encuentre "soberbio".

[S. E. Puelma Moy...]

La respuesta es correcta, pero a modo de ejemplo, si te piden probar que cierta expresión, es divisible por 720... o un número bien grandote... se hace impracticable.

Intenta una explicación que no se vaya a la reducción de casos.

Para probar que es múltiplo de 24, lo hacemos separadamente para que sea múltiplo de 3, y para que sea múltiplo de 8. El primero de ellos es sencillo. El segundo es un pelo más complicado, pero es de la misma dificultad que cierto problema de campeonato escolar (creo que 3ª fecha, 2º medio)

[Guía Rojo]

Problema 9
Determine cuáles de los siguientes conjuntos son sistemas completos de residuos módulo 4:
{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 } ; { -2 ; -1 ; 0 ; 1 } ; { 0 ; 4 ; 8 ; 12 } ; { -13 ; 4 ; 17 ; 18 } ; { -5 ; 0 ; 6 ; 22 }

Solución
Las posibles congruencias son con 0, 1, 2 y 3.
Analicemos cada conjunto:

El primer conjunto es: { 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Tenemos justamente las 4 congruencias, así ke corresponde a un sistema pedido.

El segundo conjunto es: { -2 ; -1 ; 0 ; 1 }
1) -2 es congruente con (-2 + 4) = 2
2) -1 es congruente con (-1 + 4) = 3
Entonces tenemos las congruencias con 2, 3, 0 y 1, lo ke corresponde a un sistema pedido.

El tercer conjunto es: { 0 ; 4 ; 8 ; 12 }
Tenemos que 0 es congruente con 4, entonces no corresponde a un sistema pedido.

El cuarto conjunto es: { -13 ; 4 ; 17 ; 18}
1) -13 es congruente con (-13 + 4*4) = 3
2) 4 es congruente con (4 - 4) = 0
3) 17 es congruente con (17 - 4*4) = 1
4) 18 es congruente con (18 - 4*4) = 2
Entonces tenemos las congruencias 3, 0, 1 y 2

Y el quinto conjunto es: { -5 ; 0 ; 6 ; 22 }
Tenemos que 6 es congruente con 22, entonces no corresponde a un sistema pedido.

Entonces los conjuntos que sirven son:
{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 } ; { -2 ; -1 ; 0 ; 1 } ; { -13 ; 4 ; 17 ; 18 }

[D4rk 5ou1]

ey, espero q no se molesten por haber revivido este tema, pero quizas les interese saber mi solucion... hice el problema 1:

lo hice parecido a como lo hicieron aki anteriormente










luego de esto, le fui sumando a -1025 41, hasta que me dio cero

entonces:

si






despues pense: "y si le voy sumando 41 al cero, para comprobar si realmente me dá 1048575?" y asi lo hice, pero ni tonto sumar con la calculadora... hice un programa en C que me facilito las cosas:

#include <stdio.h>

main()

{

int i;

i = 0;
while (i<=1048575)

{

printf ("\n%d",i);

i+=41;

}

printf("\n");
printf("\nCero ES congruente con 1048575 en modulo 41\n");
system("pause>nul");

}

y pues si dio...

[Rurouni Kenshin]

Puedes usar el comando \equiv que se usa asi:

Por ejemplo: $a\equiv b$ genera

Saludos

[sebagarage]

Notemos que si no es divisible por , entonces para

Entonces , pero es par (puesto que uno de los dos términos debe serlo), luego con

Por lo tanto

Notemos que si no es divisible por , entonces para y

Si , entonces

Si , entonces

Por lo tanto

Notemos que si , y , entonces
Demostración

con
con
con , esto ya que como y , entonces necesariamente

Luego

Como , y , entonces

[sebagarage]

Notemos que

Notemos que

Luego tenemos y , pero

[sebagarage]

para
para