integral media complicada, ayuda con la integral Opciones

[pancho600]

Estoy resolviendo una integral en coordenadas cartesianas, pero el problema es que me la piden calcular sin usar este tipo de coordenadas. al calcularla en coordenadas cartesianas la region la dividi en cuatro partes iguales, la cual cada una me dio como resultado 1/6.
cambie a coordenadas polares pero me quedo la embarrada. espero que me puedan dar una alumbradita porfavor. la integral es la siguiente:

I=∫∫xda

siendo la region: |x|+|y|=1


desde ya mis agradecimientos a los participantes de este foro.

[Abu-Khalil]

Tai integrando sobre un rombo. Fijate que la función es más impar que la no se qué... adivina cuánto da la integral D:

[pancho600]

Estuve tratando de resolver esta integral, y me dio lo siguiente. por favor si quieren aportar algo al proble no duden en publicar, nos sirve a todos. el procedimiento esta adjuntado.

desde ya muchas gracias.
atte. pancho600

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[mikel ramone]

abu-khalil a eso te referías con que era un función muy impar es decir que su calculo por integral da 0 ???? o estoy alucinando producto de las altas horas de la noche

Mensaje modificado por mikel ramone el Jul 27 2010, 02:00 AM

[Abu-Khalil]

Si.

El procedimiento a mi me parece bien.

[pancho600]

Muchas muchas gracias abu-khalil, pero me gustaria aprender la forma que tu mencionaste de sacar la integral calculandola con los centros de gravidad de una placa.
me gustaria que mas personas tambien aportaran con el ejercicio, nos sirve a todos.
atte. pancho600

[Laðeralus]

Lo que pasa es lo siguiente. La integral a clacular es:

integral(rombo completo) = integral(mitad derecha del rombo) + integral(mitad izquierda del rombo)

donde la función a integrar es f(x,y) = x. La región de integración se separó en un lado derecho y un lado izquierdo, porque en la mitad derecha, f(x,y) será positiva, y en la mitad izuqierda será negativa.

Ahora, cuando la función es impar (que es el caso), y la región de integración es simétrica (dado que es un rombo), entonces

integral(mitad izquierda) = - integral(mitad derecha)

En otras palabras, el volumen que se forma sobre la parte derecha del rombo es el mismo volumen que se repite sobre la parte izquierda del rombo, con la única diferencia que el volumen en la aprte izquierda se forma abajo del plano z=0, y el volumen de la parte derecha se forma arriba del plano z=0.

En fin, reemplazando:

Integral (combo completo) = integral(mitad derecha del rombo) - integral(mitad derecha del rombo)
Integral (rombo completo) = 0

En este ejercicio, no era ni encesario realizar ninguna integral para resolverla
Solo bastaba darse cuenta que la función a integrar es impar, y que la región de integración es un rombo simétrico con respecto al eje y.


Mira, hice una foto (lo hice con parkinson, asi que ojalá se vea xD)

http://img820.imageshack.us/i/rombo.jpg/

La parte roja es la función f(x,y) = x. Se ve una pura linea porque lo estoy viendo en forma lateral, pero es un plano.
La parte azul es el rombo, que también se ve una pura línea por estar mirándola de lado, pero es el rombo acostado sobre el piso z=0
Las partes verdes son los volumenes que se forman limitados por la función impar f(x,y)=x. Como te das cuenta, el volumen a la izquierda es el mismo que el volumen a la derecha, pero con signo contrario. Al sumarlos ambos (porque la integral es sobre todo el rombo), el resultado es A+(-A) = 0.

Por eso es importante que la función sea impar y que la región sea simétrica, ya que así uno se asegura que los volumenes que se forman tienen el mismo valor numérico, pero con signo contrario.

Si la región de integración es simétrica, y la función es PAR, entonces el volumen de la derecha se formaríaa la izquierda también, pero este último también estaría sobre el plano z=0! Por lo tanto, sería: A + A = 2A.

Osea... no sé si se cacha... no tuve el lenguaje más técnico del mundo , era para ver si se cachaba geométricamente por qué el ejercicio daba cero sin necesidad de calcular nada.

Mensaje modificado por Laðeralus el Jul 27 2010, 02:36 PM

[mikel ramone]

aaa que buena entonces no estaba alucinando gracias compañero la∂eralus excelente


Mensaje modificado por mikel ramone el Jul 27 2010, 03:00 PM

[Abu-Khalil]

Muchas muchas gracias abu-khalil, pero me gustaria aprender la forma que tu mencionaste de sacar la integral calculandola con los centros de gravidad de una placa.
me gustaria que mas personas tambien aportaran con el ejercicio, nos sirve a todos.
atte. pancho600

Nada, es simplemente recordar que la abcisa del centroide se calcula como



entonces si asumes densidad cte igual a 1, como la figura es simétrica, regular, etc. el centroide debe estar en el origen y por ende, de donde se concluye que tu integral es cero.

[pancho600]

muchas gracias laderalu y abu-khalil, ne sus post me sirvieron arto, desde ya muy agradecido de ustedes.
pd: mikel rubina, vale man.