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Controles Ecua. Dif, I Sem 2010 - Carlos Silva

7words Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2010, 08:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.756 Registrado: 16-September 07 Desde: al frente del Express Miembro Nº: 10.238 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[Control\,nº3\]$ $TEX: \[Usando\;el\,metodo\,de\,Frobenius,encuentre\,la\,solucion\,general\,alrededor\,de\,x = 0.\]<br />$ $TEX: \[{x^2}y'' + 5xy' + \left( {x + 4} \right)y = 0\]$ $TEX: <br />\[Det.\,ademas\,el\, intervalo\,en\,el\,cual\,esta\,definida\,la\,solucion.\]$ $TEX: \[Control\,nº4\]$ $TEX: \[ Resolver\,el\,problema\,de\;valores\,iniciales:\]$ $TEX: \[y'' + 4y' + 4y = f\left( t \right);\,y\left( 0 \right) = 1,y'\left( 0 \right) = 2\]$ $TEX: \[donde\,f\left( t \right)\left\{ \begin{array}{l}<br /> 1\,\,\,\,\,si\,0 < t < 2 \\ <br /> 0\,\,\,\,si\,t \ge 2 \\ <br /> \end{array} \right.\]<br />$ $TEX: \[Control\,nº5\]$ $TEX: \[Para\,\alpha \ge L > 0,utilice\,el\,m.s.v\,y\,obtener\,la\,solucion\,de:\]$ $TEX: \[{u_{tt}} + 2{u_t} + u = {\alpha ^2}{u_{xx}};0 < x < L,t > 0\]$ $TEX: \[u\left( {0,t} \right) = u\left( {l,t} \right) = 0;t > 0\]$ $TEX: <br />\[u\left( {x,0} \right) = 1,{u_t}\left( {x,0} \right) = 0;0 < x < L\]$ $TEX: \[Control\,nº6\]$ $TEX: \[Encuentre\,la\,solucion\,de:\]$ $TEX: \[{u_t} = 2{u_{xx}} + 4x;0 < x < \pi \]$ $TEX: \[u\left( {x,0} \right) = u\left( {\pi ,t} \right) = 0;t > 0\]$ $TEX: \[Control\,nº7\]$ $TEX: \[\Delta u\left( {r,\theta } \right) = 0\,\,\,\,\,\,0 < r < R; - \pi < \theta < \pi \]$ $TEX: \[u\left( {r, - \pi } \right) = u\left( {r,\pi } \right)\]$ $TEX: \[{u_\theta }\left( {r, - \pi } \right) = {u_\theta }\left( {r,\pi } \right)\,\,,f\left( \theta \right) = {\cos ^2}\left( \theta \right)\]$ $TEX: \[\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} u\left( {r,\theta } \right) < \infty \]$ PD: el control nº7,era un enunciado que decia, "..sea el problema de la laplace en un disco con condiciones estacionarias bla bla bla... ";la cosa es que no encuentro dicho enunciado xD, asi que puse el puro planteamiento ...notar las semejanzas entre el control 5,6,7 xd saludos (: Mensaje modificado por 7words el Jul 24 2010, 12:48 PM -------------------- Ahora van quedando en el foro solo los niñitos tontitos graves, que lata... u.u

TM2K4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2010, 10:38 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola: Gracias por el aporte al sitio 7words! Si alguien se motiva puede irlos desarrollando en este mismo tema. Saludos! -------------------- Manual de Latex! Software generador de código Latex!

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2010, 11:57 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 4: Notemos que f(t) se puede escribir usando la función escalón como: $TEX: $f(t) = 1 - \mu_2(t)$$ También es posible anotar $TEX: $f(t) = \mu_0(t) - \mu_2(t)$$ ya que la función anterior no es igual a f(t) para valores negativos, pero vamos a asumir que no importa para t menores que 0 Obs: $TEX: $\mu_2(t) = H(t-2)$$ Aplicando transformada de Laplace unilateral y sea: $TEX: $\mathcal{Y}(s) = \mathcal{L} \{ y \} (s)$$ Nos deja así: $TEX: $s^2\mathcal{Y} - sy(0) -y'(0) + 4s\mathcal{Y} - 4y(0) + 4\mathcal{Y} = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s}$$ Evaluando las condiciones iniciales tenemos: $TEX: $s^2\mathcal{Y} - s - 2 + 4s\mathcal{Y} - 4 + 4\mathcal{Y} = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s}$$ $TEX: $\mathcal{Y}(s^2 + 4s +4) = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} + s + 6$$ Lo que sigue es aplicar Laplace inverso, usando ya sea fracciones parciales o convolución: $TEX: $\mathcal{Y} = \dfrac{1- e^{-2s}}{s(s + 2)^2} + \dfrac{s+6}{(s + 2)^2}$$ Ahora haciendo fracciones parciales tenemos: $TEX: \begin{align}\mathcal{Y} &=\dfrac{1}{4s} - \dfrac{1}{4(s+2)} - \dfrac{1}{2(s+2)^2} - e^{-2s} \left(\dfrac{1}{4s} - \dfrac{1}{4(s+2)} - \dfrac{1}{2(s+2)^2} \right) \\ & + \dfrac{1}{s+2} + \dfrac{4}{(s+2)^2}\end{align}$ $TEX: $ \mathcal{Y} = \dfrac{1}{4s} + \dfrac{3}{4(s+2)} + \dfrac{7}{2(s+2)^2} - e^{-2s} \left(\dfrac{1}{4s} - \dfrac{1}{4(s+2)} - \dfrac{1}{2(s+2)^2} \right)$$ Aplicando transformada inversa y propiedad de traslación y notando que: $TEX: $\mathcal{L} (te^{-2t}) = \dfrac{1}{(s+2)^2}$$ $TEX: $ y(t) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}e^{-2t} + \dfrac{7}{2}te^{-2t} - \mu_2(t) \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} e^{-2(t-2)} - \dfrac{1}{2} (t-2)e^{-2(t-2)} \right)$$ Que es lo buscado. PD: Espero no haberme pifeado xDDD PD2: Me sirvió mucho para refrescar EDO -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

7words Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 24 2010, 01:23 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.756 Registrado: 16-September 07 Desde: al frente del Express Miembro Nº: 10.238 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	control 6 $TEX: \[sea\,u\left( {x,t} \right) = v\left( {x,t} \right) + h\left( x \right)\]<br />$ determinando $TEX: \[{u_x}\left( {x,t} \right),{u_{xx}}\left( {x,t} \right)\,y\,{u_t}\left( {x,t} \right)\]$ y reemplazando en las condiciones dadas se tienen que $TEX: \[h\left( x \right) = \frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}x\]$ luego el problema se transforma en : $TEX: \[{v_t}\left( {x,t} \right) = 2{v_{xx}}\left( {x,t} \right)\]$ $TEX: \[v\left( {x,0} \right) = sen\left( x \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{\pi ^2}}}{2}x\,\,\,;0 < x \le \pi \]$ $TEX: \[v\left( {0,t} \right) = v\left( {\pi ,t} \right) = 0\]$ ahora sea ; $TEX: \[v\left( {x,t} \right) = \phi \left( x \right)\varphi \left( t \right)\]$ determinamos nuevamente $TEX: \[{v_x}\left( {x,t} \right),{v_{xx}}\left( {x,t} \right),{v_t}\left( {x,t} \right)\]$ y tenemos el problema de S-L: $TEX: \[\phi ''\left( x \right) + \lambda \phi \left( t \right) = 0\]$ $TEX: \[\varphi '\left( t \right) + 2\lambda \varphi \left( t \right) = 0\]$ $TEX: \[\phi \left( 0 \right) = \phi \left( \pi \right) = 0\]$ donde los autovalores y autofunciones son respectivamente $TEX: \[\lambda = {n^2},{\phi _n}\left( x \right) = sen\left( {nx} \right)\forall n \in \mathbb{N},{\varphi _n}\left( t \right) = {e^{ - 2nt}}\]<br />$ entonces: $TEX: \[v\left( {x,t} \right) = {\phi _n}\left( x \right){\varphi _n}\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\exp \left( { - 2{n^2}t} \right)sen\left( {nx} \right)} \]$ $TEX: \[v\left( {x,0} \right) = sen\left( x \right) + \frac{{{x^3}}}<br />{3} - \frac{{{\pi ^2}}}<br />{3}x = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}sen\left( {nx} \right)} \]$ donde : $TEX: \[{a_n} = \frac{2}<br />{\pi }\int_0^\pi {\left( {\frac{{{x^3}}}<br />{3} - \frac{{{\pi ^2}}}<br />{3}x} \right)} sen\left( {nx} \right)dx = \frac{{4{{\left( { - 1} \right)}^n}}}<br />{{{n^3}}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{\pi ^3}}}<br />{{3n}}\]<br />$ $TEX: \[v\left( {x,t} \right) = \left( { - 3 - \frac{{{\pi ^3}}}<br />{3}} \right)sen\left( x \right) + \sum\limits_{n = 2}^\infty {{a_n}\exp \left( { - 2{n^2}t} \right)sen\left( {nx} \right)} \]$ $TEX: \[u\left( {x,t} \right) = - \frac{{{x^3}}}<br />{3} + \frac{{{\pi ^2}}}<br />{3}x + \left( { - 3 - \frac{{{\pi ^3}}}<br />{3}} \right)sen\left( x \right) + \sum\limits_{n = 2}^\infty {{a_n}\exp \left( { - 2{n^2}t} \right)sen\left( {nx} \right)} \]$ saludos (: -------------------- Ahora van quedando en el foro solo los niñitos tontitos graves, que lata... u.u

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